Met wat vermenigvuldigen (faculteiten)

[Jannemann]

Ik wil iets omschrijven, namelijk:

a! * (n - 2a)! dat moet worden a! * (n + 2 - 2a)! of a! * (n + 1 - 2a)!

Met wat moet ik de eerste dan vermenigvuldigen, om op één van de twee (beide mag ook!) te komen?

Bedankt alvast

[Xenion]

Ik denk dat je dit bedoelt: ?

Als je n! hebt, staat dat voor 1*2*...*n

Als je dus (n+1)! hebt krijg je 1*2*...*n*n+1

(n+1)! is dus gelijk aan (n+1)*n!

Kan je door zo te redeneren zien wat je in jouw geval nodig hebt?

[Jannemann]

Dus, als ik a! * (n - 2a)! * (n+1) doe, krijg ik a! * (n +1 - 2a)! ?

Ik denk dat je dit bedoelt: ?

Hoe bedoel je?

[Xenion]

Dus, als ik a! * (n - 2a)! * (n+1) doe, krijg ik a! * (n +1 - 2a)! ?

Nee, in mijn voorbeeld had je n! Jij zit met (n-2a) in je faculteit, dat moet je als een apart getal zien. Neem bijvoorbeeld m = n-2a

Dan heb je:

a! * (n-2a)! = a! * m! = a! * (m+1)! / (m+1) = a! * (n + 1 - 2a)! / (n + 1 - 2a)

[Jannemann]

Nee, in mijn voorbeeld had je n! Jij zit met (n-2a) in je faculteit, dat moet je als een apart getal zien. Neem bijvoorbeeld m = n-2a

Dan heb je:

a! * (n-2a)! = a! * m! = a! * (m+1)! / (m+1) = a! * (n + 1 - 2a)! / (n + 1 - 2a)

Okee, ik weet niet of ik het snap!

Het is namelijk mijn bedoeling om te bewijzen dat:

(n+1-a)! / a!(n+1-2a)! + (n-a)! / a!(n-2a)! = (n+2-a)! / a!(n+2-2a)!

Als ik jouw uitleg lees, heb ik geen idee wat ik nou moet doen...

[Xenion]

Het is namelijk mijn bedoeling om te bewijzen dat:

(n+1-a)! / a!(n+1-2a)! + (n-a)! / a!(n-2a)! = (n+2-a)! / a!(n+2-2a)!

Ik zou het linker lid apart nemen en dan op noemer a!(n+2-2a)! proberen te zetten en dan kijken of je het rechter lid uitkomt.

Voor de eerste term bijvoorbeeld:

a!(n+1-2a)! moet a!(n+2-2a)! worden, dus moet je de teller met (n+2-2a) om de extra term van die 'verhoogde' faculteit te compenseren

Voor de 2de term moet je op dezelfde manier redeneren.

Dan moet je in de teller zoveel mogelijk proberen te vereenvoudigen en samen te nemen en vergelijken met de teller van het rechter lid.

Edit: foutje verbeterd

[Jannemann]

Voor de 2de term moet je op dezelfde manier redeneren.

Moet je voor die 2de term dan ook de teller en noemer vermenigvuldigen met (n+2-2a) ?

[Xenion]

Moet je voor die 2de term dan ook de teller en noemer vermenigvuldigen met (n+2-2a) ?

O sorry! Uiteraard moet je enkel de teller vermenigvuldigen. De vermenigvuldiging in de noemer zet je al in die faculteit.

In de 2de term moet je inderdaad vermenigvuldigen met (n+2-2a) MAAR ook met (n+1-2a), zie je waarom?

Schrijf de faculteiten eens uit zoals ik in mijn eerste post heb gedaan.

[Jannemann]

O sorry! Uiteraard moet je enkel de teller vermenigvuldigen. De vermenigvuldiging in de noemer zet je al in die faculteit.

In de 2de term moet je inderdaad vermenigvuldigen met (n+2-2a) MAAR ook met (n+1-2a), zie je waarom?

Schrijf de faculteiten eens uit zoals ik in mijn eerste post heb gedaan.

Okee hier komt ie;

(n+1-a)! / a!(n+1-2a)! + (n-a)! / a!(n-2a)!

= (n+1-a)!(n+2-2a) / a!(n+2-2a)! + (n-a)!(n+2-2a)(n+1-2a) / a!(n+2-2a)!

= ( (n+1-a)!(n+2-2a)+ (n-a)!(n+2-2a)(n+1-2a) ) / a!(n+2-2a)!

= ........ (wat nu? :eusa_whistle: )

= (n+2-a)!/a!(n+2-2a)!

[Xenion]

Ik heb even met de computer nagerekend en zoals ik de formule interpreteer klopt die gelijkheid niet eens. Post de formule eens met latex zodat het duidelijker is wat er precies staat.

Ik lees het als:

\(\frac{(n + 1 - a)!}{a!*(n + 1 - 2a)!} + \frac{(n - a)!}{a!*(n - 2a)!} = \frac{(n + 2 - a)!}{(a!*(n + 2 - 2a)!}\)

Maar ik dat ff nareken met bijvoorbeeld n=10, a=2 krijg ik 64=45 en dat kan niet he.

[Jannemann]

Ik heb even met de computer nagerekend en zoals ik de formule interpreteer klopt die gelijkheid niet eens. Post de formule eens met latex zodat het duidelijker is wat er precies staat.

Ik lees het als:

\(\frac{(n + 1 - a)!}{a!*(n + 1 - 2a)!} + \frac{(n - a)!}{a!*(n - 2a)!} = \frac{(n + 2 - a)!}{(a!*(n + 2 - 2a)!}\)

Maar ik dat ff nareken met bijvoorbeeld n=10, a=2 krijg ik 64=45 en dat kan niet he.

Ik kan niet zo 100% omgaan met latex, maar ik zal het proberen.

Het is inderdaad niet de volledige vergelijking, maar ik dacht dat dit voldoende was; niet dus sorry!

Het is inderdaad wat jij hebt opgeschreven, maar dan met elke een "som" ervoor.

Dus

\(\sum n+1, a=0 \frac{(n + 1 - a)!}{a!*(n + 1 - 2a)!} + \sum n, a=0\frac{(n - a)!}{a!*(n - 2a)!} = \sum n+2, a=0\frac{(n + 2 - a)!}{a!*(n + 2 - 2a)!}\)

Ik dacht dat het gewoon mogelijk was het op die andere manier te vergelijken. Moet ik dit anders aanpakken?

[Xenion]

De sommaties veranderen de zaken. Je mag niet zomaar al die sommaties samennemen omdat er steeds tot een andere index gesommeerd wordt.

Je kan De stukken van 0 tot n wel samennemen, maar dan moet je de overige delen wel nog buiten de sommatie schrijven, nu laat je termen vallen!

[Jannemann]

De sommaties veranderen de zaken. Je mag niet zomaar al die sommaties samennemen omdat er steeds tot een andere index gesommeerd wordt.

Je kan De stukken van 0 tot n wel samennemen, maar dan moet je de overige delen wel nog buiten de sommatie schrijven, nu laat je termen vallen!

Weer wat geleerd! Ik dacht dat dat gewoon kon, niet dus.

Je laatste stukje snap ik niet; "Je kan De stukken van 0 tot n wel samennemen, maar dan moet je de overige delen wel nog buiten de sommatie schrijven, nu laat je termen vallen!"

Hoe kan ik bovenstaande vergelijking bewijzen?

Ik snap niet welke termen je bedoelt!

[Xenion]

\(\sum_{a=0}^n f(n) + \sum_{a=0}^{n+1} g(n) = \sum_{a=0}^n f(n) + \sum_{a=0}^{n} g(n) + g(n+1)\)

Dus:

\(= \sum_{a=0}^n \left( f(n)+g(n)\right) + g(n+1)\)

Je moet steeds kijken wàt die sommaties en die faculteiten juist inhouden en desnoods een stukje uitschrijven om er meer inzicht in te krijgen.

De methode die jij gebruikte zou in dit voorbeeld de term g(n+1) (deze staat trouwens buiten de sommatie!) gewoon laten vallen en zo gaat je gelijkheid niet meer kloppen he :eusa_whistle:

[Jannemann]

Okee, dan krijg ik de vergelijking:

[

\(\sum_{a=0}^n \)

(n-a boven a) + (n+1-a boven a) ] + (n+2-a boven a) =

\([ \sum_{a=0}^n \)

(n+2-a boven a) ] + (n+4-a boven a)

Kan dat kloppen?

Edit: als ik n=2 en a=1 invul, kom ik uit op 8=10 wat niet klopt.

Het zou wel kloppen als ik doen:

[

\(\sum_{a=0}^n \)

(n-a boven a) + (n+1-a boven a) ] + (n+2-a boven a) =

\([ \sum_{a=0}^n \)

(n+2-a boven a) ] + (n+2-a boven a)

En daaruit volgt:

[

\(\sum_{a=0}^n \)

(n-a boven a) + (n+1-a boven a) ] =

\([ \sum_{a=0}^n \)

(n+2-a boven a) ]

En dan kan je denk ik toch wel (n-a boven a) + (n+1-a boven a) = (n+2-a boven a) oplossen? (Alleen hoe weet ik niet).