Dubbele integratie over gebied.
Geplaatst: wo 30 dec 2009, 01:39
Ik wil de integraal
Daarvoor maak ik gebruik van een transformatie in poolcoördinaten, met Jacobiaan = r.
Weet iemand waar ik in de fout ga?
Alvast bedankt!
Denis
\( \int \int_D \frac{x}{x^2+y^2} \ \mbox{d}x \ \mbox{d}y\)
uitrekenen voor D begrenst door y = x en y = x2/2.Daarvoor maak ik gebruik van een transformatie in poolcoördinaten, met Jacobiaan = r.
\( \int_0^2 \ \mbox{d}x \ \int_{\frac{x^2}{2}}^{x} \frac{x}{x^2+y^2} \ \mbox{d}y = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \mbox{d}\theta \ \int_{0}^{\frac{2 \sin \theta}{\cos^2 \theta}} \frac{r \cos \theta}{r^2}r \ \mbox{d}r = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \mbox{d}\theta \ \int_{0}^{\frac{2 \sin \theta}{\cos^2 \theta}} \cos \theta \ \mbox{d}r\)
en dan na oplossen:\(\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{2 \sin \theta}{\cos^2 \theta} \cos \theta \ \mbox{d}\theta = 2\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \ \mbox{d}\theta = -2 \ln (\cos \frac{\pi}{4}) +2 \ln (\cos 0) \approx 6.931 \)
Dit klopt niet volgens mijn boek, dat zegt dat het antwoord ln(2) is.Weet iemand waar ik in de fout ga?
Alvast bedankt!
Denis