Pagina 1 van 1
Middelwaardestelling
Geplaatst: zo 10 jan 2010, 19:34
door muncky
Toon aan met behulp van de middelwaardestelling
ln(1 +√2) +1/√41 < argsh(1; 25) < ln(1 +√2) +√2/8
Ik weet niet hoe hieraan te beginnen. Zou iemand mij kunnen helpen.
Alvast bedankt!
Re: Middelwaardestelling
Geplaatst: zo 10 jan 2010, 21:56
door TD
Waarvoor staan de twee argumenten bij argsh?
Re: Middelwaardestelling
Geplaatst: ma 11 jan 2010, 11:26
door muncky
Waarvoor staan de twee argumenten bij argsh?
Hoe bedoel je? Zijn dit niet gewoon 2 waarden?
Ik heb inmiddels berekend dat Argsh(1.25) = 1.04795. Helpt dit mij iets verder?
Re: Middelwaardestelling
Geplaatst: ma 11 jan 2010, 11:47
door TD
Oké, maar "1; 25" is wel een vreemde notatie voor 1.25, door ";" en de spatie lijkt het om twee argumenten te gaan of iets dergelijks. De ongelijkheid klopt voor argsh(1.25), dus dat zal wel de opgave zijn. Misschien helpt het als je weet dat:
\(\arg \sinh \left( x \right) = \ln \left( {x + \sqrt {1 + {x^2}} } \right)\)
Re: Middelwaardestelling
Geplaatst: ma 11 jan 2010, 12:29
door muncky
Niet echt. dat wist ik immers al.
Ik zie hoe men aan ln(√2+1) komt (door 1 in te vullen in formule voor Argsh). Maar hoe kom ja dan aan 1/√41 en √2/8.
En hoe kan je hier de middelwaardestelling op toepassen? Moet je dan een interval [a,b] kiezen waar 1.25 tot behoort?
Dan zou ik a=1 nemen en b=?
Re: Middelwaardestelling
Geplaatst: ma 11 jan 2010, 13:09
door TD
Niet echt. dat wist ik immers al.
Maar dat kunnen wij niet weten, als jij niet zegt dat je al weet, kent, geprobeerd hebt, zelf gevonden hebt,... :eusa_whistle:
muncky schreef:Ik zie hoe men aan ln(√2+1) komt (door 1 in te vullen in formule voor Argsh). Maar hoe kom ja dan aan 1/√41 en √2/8.
En hoe kan je hier de middelwaardestelling op toepassen? Moet je dan een interval [a,b] kiezen waar 1.25 tot behoort?
Dan zou ik a=1 nemen en b=?
Neem b = 5/4, want dan is sqrt(1+b²) = sqrt(1+25/26) = sqrt(41/16) = sqrt(41)/4.
Re: Middelwaardestelling
Geplaatst: ma 11 jan 2010, 13:18
door muncky
Wat je zegt snap ik.
Maar ik heb nog steeds niet door hoe je de middelwaardestelling kan gebruiken om tot de gegeven ongelijkheid te komen.
Re: Middelwaardestelling
Geplaatst: ma 11 jan 2010, 13:28
door TD
De stelling stelt dat er een c in (a,b) is zodat:
\(\frac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{b - a}} = f'\left( c \right)\)
Voor zekere d en e zal f'(x) respectievelijk minimaal en maximaal zijn op (a,b), daarvoor geldt:
\(f'\left( d \right) \le \frac{{f\left( b \right) - f\left( a \right)}}{{b - a}} \le f'\left( e \right)\)
Pas dit toe op het interval [1,5/4] en herschrijf de ongelijkheid nog op een gepaste manier.
Re: Middelwaardestelling
Geplaatst: ma 11 jan 2010, 13:41
door muncky
Ok.
Hoe vindt je dan de waarden d en e, m.a.w. hoe vindt je waar de afgeleide maximaal zal zijn?
Ik heb reeds gevonden dat de afgeleide van Argsh in 1 gelijk is aan √2/2 en in 5/4 gelijk is aan 4/√41.
In de gegeven ongelijkheid zijn deze waarden gedeeld door 4 en staat er nog ln(√2+1) bij. Hoe komt dit?
Re: Middelwaardestelling
Geplaatst: ma 11 jan 2010, 13:43
door TD
Bepaal de afgeleide, zie je niet onmiddellijk wat de minimale en maximale waarde is op (1,5/4)? De afgeleide functie is monotoon op dat interval...
Wat er niet op de juiste plaats staat, kan je nog proberen te verhuizen.
Re: Middelwaardestelling
Geplaatst: ma 11 jan 2010, 14:22
door muncky
Alles is mij duidelijk geworden.
Heel erg bedankt voor je hulp!
Re: Middelwaardestelling
Geplaatst: ma 11 jan 2010, 15:18
door TD
Oké, graag gedaan! Ik help je liever stap voor stap, dan leer je er het meest van bij - denk ik... :eusa_whistle: