Wetenschapsforum

Besten,

Met onderstaande wiskundige vergelijkingen ben ik al een tijdje bezig, maar ik geraak er helaas maar niet uit...

Kan iemand mij helpen naar een oplossing te zoeken ?

Er zijn 3 onbekenden, namelijk x1,x2,x3. Hieronder zijn er een aantal voorwaarden opgesomd.

x1 x 4,00 > x1 + x2 + x3

x2 x 3,50 > x1 + x2 + x3

x3 x 1,91 > x1 + x2 + x3

Wat zijn de mogelijke oplossingen voor x1, x2 en x3 ?



Alvast bedankt voor de hulp !

Mvg,

Ben benieuwd of dat kan. In de x1,x2,x3 ruimte zijn dit de vergelijkingen van drie vlakken die allen door de oorsprong gaan. Volgens mij kun je niet expliciet de mogelijke x1..x3 aangeven. Het enige dat je kan doen is de vergelijkingen vereenvoudigen naar

3,00 x1 - x2 - x3 > 0

x1 - 2,5 x2 + x3 < 0

x1 + x2 -0,91 x3 < 0

en verder niet. Ik wacht af... succes allemaal

Probeer eens de ene ongelijkheid in de andere te gebruiken. Voor het gemak schrijf ik even x,y,z ipv x1,x2,x3:

3 x > y + z

2.5 y > x + z

0.91 z > x + y

Nou kun je van 3x > y+z ook x > (y+z)/3 maken, en omdat 2.5y > x+z geldt dan ook 2.5y (y+z)/3+z.

Hieruit kun je een ondergens van y halen, van de vorm y ](*,) (iets met z).

Als je zo doorgaat kun je voor alledrie de onbekenden de onder- en bovengrenzen bepalen (die afhankelijk van elkaar zijn).

Ik geef mijn manier van oplossen?

Ik begin met x₁>0

Ik deel beide leden van de ongelijkheden door x1 en stel x2/x1=x en x3/x1=y.

Ik weet dat rechte ax+by+c=0 het vlak in drie gebieden verdeelt punten waar na invulling in de rechte >0 volgt,=0 volgt en < 0 volgt.

Ik teken de 3 rechten en bepaal door schrapping het goede gebied(als het bestaat) en bereken x2 en x3.

Ik doe zelfde voor x1<0 en voor x1=0 neem ik direct 3 rechten dus niet delen door x1.

Edit: Ik heb het probleem opgelost (hopelijk juist?) in mijn geest. ](*,)

Rogier schreef:Nou kun je van 3x > y+z ook x > (y+z)/3 maken, en omdat 2.5y > x+z geldt dan ook 2.5y (y+z)/3+z.

Hieruit kun je een ondergens van y halen, van de vorm y ](*,) (iets met z).

Als je zo doorgaat kun je voor alledrie de onbekenden de onder- en bovengrenzen bepalen (die afhankelijk van elkaar zijn).

Nee dat gaat niet lukken dat heb ik geprobeerd. Uiteindelijk kom je uit op x>0, y>0 en z>0.

@Kotje: stel je eens de drie vlakken door de oorsprong voor. Zij vormen een piramide met de oorsprong als top. Je kan daarvan volgens mij geen expliciete oplossing geven. Of wel?

Bessie schreef:

stel je eens de drie vlakken door de oorsprong voor. Zij vormen een piramide met de oorsprong als top. Je kan daarvan volgens mij geen expliciete oplossing geven. Of wel?

Ik zie het zo niet zitten (piramide en figuur?).Is er krtiek op mijn oplossing? De eventuele oplossing voor x2 en x3 is een gebied in het vlak en x1 wordt dan gelinkt aan x2 en x3. Ik heb de zaak niet concreet opgelost maar ik verwacht een oneindig aantal oplossingen.

Nee dat gaat niet lukken dat heb ik geprobeerd. Uiteindelijk kom je uit op x>0, y>0 en z>0.

Dat lijkt me stug, want als je op die manier x vervangt en y of z isoleert krijg je iets van de vorm py < z < qy waarbij p>q, dus moet y<0 (en omdat p en q positief zijn, ook z<0, en via een andere route op dezelfde manier volgt ook x<0).

Ik heb geen kritiek, alleen zie ik nog geen expliciete oplossingen van jullie, alleen ideeen (die ik heb uitgeprobeerd zonder resultaat).

Maar, zie http://nl.wikipedia.org/wiki/Normaalvector, de vergelijkingen die hier gegeven zijn zijn echt vlakken in de x, y, z ruimte. Ik zal voor de schrijfbaarheid x y en z nemen als variabelen, en ik zal de ongelijkheden even vervangen door gelijkheden, waardoor de drie vlakken A, B en C ontstaan in de xyz ruimte:

A:3x-y-z=0

B:-x+2,5y-z=0

C:-x-y+0,91z=0

De snijlijn van vlakken A en B bereken ik hier: het is een vector met drager (x,y,z). Hij staat loodrecht op de normaalvectoren van A (a1,b1,c1) en B (a2,b2,c2), met waarden (3,-1,-1) en (-1,2.5,-1). Neem de x van de drager gewoon 1, dan kun je uit

a1+b1y+c1z=0 en a2+b2y+c2z=0 uitrekenen dat voor z geldt z = (a2b1-a1b2)/(b2c1-b1c2)=1,86 en y=4,86.

Ofwel deze snijlijn loopt vanuit de oorsprong in de richting (1, 1.86, 4.86).

De andere snijlijnen kunnen eveneens worden berekend en lopen door de oorsprong in een andere richting. Zij vormen in het algemeen gedrieen de ribben van een driehoekige piramide. Ik hoop dat jullie mij de andere snijlijnen willen besparen...

De drievlakken delen de ruimte in 8 delen, waarvan er één (met genoemde vorm) voldoet aan het groter zijn in de opgave.

Ik heb geen kritiek, alleen zie ik nog geen expliciete oplossingen van jullie, alleen ideeen (die ik heb uitgeprobeerd zonder resultaat).

Dat zal dan wel zijn omdat expliciete oplossongen hier niet de bedoeling zijn.

When in doubt, ask Wolfram|Alpha

Lijkt me opgelost via de methode beschreven door Rogier.

Lijkt me opgelost via de methode beschreven door Rogier.

Is dit wetenschap? Ik geef de oplossing en ik geef aan dat Rogier's methode niet kan kloppen. Wie geeft het tegenbewijs?

Is dit wetenschap? Ik geef de oplossing en ik geef aan dat Rogier's methode niet kan kloppen. Wie geeft het tegenbewijs?

Het enige wat ik kan terugvinden over wat je zegt over Rogiers methode, is dat wanneer jij ze uitrekent dat je er niet uitkomt... Niet meteen hetzelfde als zeggen dat het niet kan kloppen.

Hier een uitwerking van een van de coëfficiënten:
Hetzelfde als de coëfficiënt bij Wolfram|Alpha. Toeval? Tenzijn Wolfram natuurlijk verkeerd is.

Vertrekkende van 2.5y>x+z kan je op een identieke manier halen dat \(\frac{382}{255}x<y\)

En dit is toevallig weer dezelfde ondergrens voor y in Wolfram|Alpha...

Voor zover ik kan zien lijkt er niets mis met de methode.

bessie schreef:Ik heb geen kritiek, alleen zie ik nog geen expliciete oplossingen van jullie, alleen ideeen (die ik heb uitgeprobeerd zonder resultaat).

Maar, zie http://nl.wikipedia.org/wiki/Normaalvector, de vergelijkingen die hier gegeven zijn zijn echt vlakken in de x, y, z ruimte. Ik zal voor de schrijfbaarheid x y en z nemen als variabelen, en ik zal de ongelijkheden even vervangen door gelijkheden, waardoor de drie vlakken A, B en C ontstaan in de xyz ruimte:

A:3x-y-z=0

B:-x+2,5y-z=0

C:-x-y+0,91z=0

De snijlijn van vlakken A en B bereken ik hier: het is een vector met drager (x,y,z). Hij staat loodrecht op de normaalvectoren van A (a1,b1,c1) en B (a2,b2,c2), met waarden (3,-1,-1) en (-1,2.5,-1). Neem de x van de drager gewoon 1, dan kun je uit

a1+b1y+c1z=0 en a2+b2y+c2z=0 uitrekenen dat voor z geldt z = (a2b1-a1b2)/(b2c1-b1c2)=1,86 en y=4,86.

Ofwel deze snijlijn loopt vanuit de oorsprong in de richting (1, 1.86, 4.86).

De andere snijlijnen kunnen eveneens worden berekend en lopen door de oorsprong in een andere richting. Zij vormen in het algemeen gedrieen de ribben van een driehoekige piramide. Ik hoop dat jullie mij de andere snijlijnen willen besparen...

De drievlakken delen de ruimte in 8 delen, waarvan er één (met genoemde vorm) voldoet aan het groter zijn in de opgave.

Geef toe dat ge om je eventuele oplossing te begrijpen (zeker 2de deel) veel verbeelding en veel goodwill moet hebben. De eventuele oplossing van Rogier lijdt volgens mij aan dezelfde symptonen.

Mijn eventuele oplossing kan daarentegen begrepen worden door een leerling van het middelbaar onderwijs. Ik heb ze voorgelegd aan een student burgerlijk ingenieur(jobstudent 2de jaar gedaan).Hij kon na veel nadenken geen opmerkingen geven en vond dat de zaak logisch in mekaar zat en hij achter de oplossing staat.

Zommer schreef:Besten,

Met onderstaande wiskundige vergelijkingen ben ik al een tijdje bezig, maar ik geraak er helaas maar niet uit...

Kan iemand mij helpen naar een oplossing te zoeken ?

Er zijn 3 onbekenden, namelijk x1,x2,x3. Hieronder zijn er een aantal voorwaarden opgesomd.

x1 x 4,00 > x1 + x2 + x3

x2 x 3,50 > x1 + x2 + x3

x3 x 1,91 > x1 + x2 + x3

Wat zijn de mogelijke oplossingen voor x1, x2 en x3 ?

Geschreven met x, y en z:

x . 4,00 > x + y + z

y . 3,50 > x + y + z

z . 1,91 > x + y + z

Voor oplossingen geldt dus:

x > 1/4 . (x + y + z)

y > 2/7 . (x + y + z)

z > 100/191 . (x + y + z)

Waardoor:

x + y + z > (1/4 + 2/7 + 100/191) . (x + y + z)

x + y + z > 1,059274... . (x + y + z)

0 > 0,059274... . (x + y + z)

x + y + z < 0 .

Klopt dit? En hebben we er iets aan?

Zommer schreef:Besten,

Met onderstaande wiskundige vergelijkingen ben ik al een tijdje bezig, maar ik geraak er helaas maar niet uit...

Kan iemand mij helpen naar een oplossing te zoeken ?

Er zijn 3 onbekenden, namelijk x1,x2,x3. Hieronder zijn er een aantal voorwaarden opgesomd.

x1 x 4,00 > x1 + x2 + x3

x2 x 3,50 > x1 + x2 + x3

x3 x 1,91 > x1 + x2 + x3

Wat zijn de mogelijke oplossingen voor x1, x2 en x3 ?

Geschreven met x, y en z:

x . 4,00 > x + y + z

y . 3,50 > x + y + z

z . 1,91 > x + y + z

Voor oplossingen geldt dus:

x > 1/4 . (x + y + z)

y > 2/7 . (x + y + z)

z > 100/191 . (x + y + z)

Waardoor:

x + y + z > (1/4 + 2/7 + 100/191) . (x + y + z)

x + y + z > 1,059274... . (x + y + z)

0 > 0,059274... . (x + y + z)

x + y + z < 0 .

Klopt dit? En hebben we er iets aan?

EDIT: wil de moderator deze dubbele weghalen?