Pagina 1 van 2
Limiet met oneindig in macht
Geplaatst: za 12 nov 2011, 18:11
door patrick3004
Afgesplitst vanuit dit topic.
RaYK schreef:maar wat doe ik dan in dit geval:
\(\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\)
wortel(n) wordt oneindig, maar ik weet niet wat te doen met de teller, deze wordt 1 vermoed ik want mijn resultat zou 0 moeten zijn.. maarja, je bewerking aanpassen naar je eindresultaat is nu ook niet echt de goeie methode
Euh ik zit echt met m'n handen in m'n haar bij een gelijkaardig probleem:
Ik kom dus uit 1^oneindig ...
Re: Limiet met oneindig in macht
Geplaatst: za 12 nov 2011, 18:26
door Drieske
Is dit de letterlijke opgave? Want het nut van die 1 in de noemer ontgaat me eerlijk gezegd volledig.
Re: Limiet met oneindig in macht
Geplaatst: za 12 nov 2011, 18:52
door patrick3004
Nee die 1 is een foutje van mij ^^ Maar het verandert niets aan de opgave ...
Re: Limiet met oneindig in macht
Geplaatst: za 12 nov 2011, 19:05
door Siron
Het beste wat je in dit geval kan doen is werken met het getal van Euler (volgens mij).
Je moet gebruiken dat:
\(x=e^{\ln(x)}\)
Begrijp je waarom dit (bovenstaande) zo is? Geraak je nu verder met de limiet?
Re: Limiet met oneindig in macht
Geplaatst: za 12 nov 2011, 19:32
door patrick3004
Ik begrijp
\(x=e^{\ln(x)}\)
maar zie niet in hoe dit me helpt voor m'n limiet ...
Normaal gezien loste ik zo'n problemen op met l'Hospital maar die techniek werkt enkel bij 0/0 of
/
...
Re: Limiet met oneindig in macht
Geplaatst: za 12 nov 2011, 19:52
door Siron
patrick3004 schreef:Ik begrijp
\(x=e^{\ln(x)}\)
maar zie niet in hoe dit me helpt voor m'n limiet ...
Normaal gezien loste ik zo'n problemen op met l'Hospital maar die techniek werkt enkel bij 0/0 of
/
...
L'Hopital kan misschien nog van pas komen, maar daartoe moeten we de limiet eerst herschrijven.
De limiet is:
\(\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\sin(x))^{\tan^2(x)}\)
Pas eerst eens
\(x=e^{\ln(x)}\)
op
\((\sin(x))^{\tan^2(x)}\)
. Wat krijg je zo?
(Dit is een standaard methode om limieten van die onbepaaldheid op te lossen)
Re: Limiet met oneindig in macht
Geplaatst: za 12 nov 2011, 20:00
door patrick3004
Sorry maar ik zie echt niet hoe dit
me kan helpen :s
Ik voel me nu echt een debiel want als dit de standaardmethode is, heb ik niets begrepen
Re: Limiet met oneindig in macht
Geplaatst: za 12 nov 2011, 20:20
door Siron
patrick3004 schreef:Sorry maar ik zie echt niet hoe dit
me kan helpen :s
Ik voel me nu echt een debiel want als dit de standaardmethode is, heb ik niets begrepen
Zo kan het je inderdaad niet helpen, je moet de regel toepassen op héél de uitdrukking d.w.z:
\(\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}[\sin(x)]^{\tan^2(x)}=\lim_{x\to \frac{\pi}{2}} e^{\ln[(\sin(x))^{\tan^2(x)}]}\)
Vermits de exponentiele functie een continue functie is mag je de limiet schrijven als:
\(\lim_{x\to \frac{\pi}{2}} e^{\ln[\sin(x)^{\tan^2(x)}]}=e^{\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \ln[\sin(x)^{\tan^2(x)}]\)
Nu moet je dus nog alleen deze limiet bepalen:
\(\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \ln[\sin(x)^{\tan^2(x)}]\)
Gebruik hiervoor eerst een gekende eigenschap van logaritmen en probeer daarna de uitdrukking om te vormen tot je een onbepaaldheid krijgt waarbij je l'Hopital kan gebruiken.
Re: Limiet met oneindig in macht
Geplaatst: za 12 nov 2011, 20:21
door Drieske
Wat Siron bedoelt, is dat
\(\sin(x)^{\tan^2(x)} = e^{\ln(\sin(x)^{\tan^2(x)})} = e^{\tan^2(x) \ln(sin(x))}\)
.
Begrijp je deze stap? En zie je het nut?
Re: Limiet met oneindig in macht
Geplaatst: za 12 nov 2011, 20:34
door patrick3004
Komen we dan e
*0 uit?
Re: Limiet met oneindig in macht
Geplaatst: za 12 nov 2011, 20:35
door Drieske
Ken je l'Hopital? Die helpt je bij zo'n onbepaaldheid.
Re: Limiet met oneindig in macht
Geplaatst: za 12 nov 2011, 21:16
door patrick3004
Ja maar we hebben hem enkel gebruikt bij 0/0 of
/
.
Ik kan
\({\tan^2(x)}\)
herschrijven als 1/(1/
\({\tan^2(x)}\)
).
1/(1/
\({\tan^2(x)}\)
)=1/0
Als je deze 1/0 vermenigvuldigt met ln(sin(x)) geeft dit (1/0)*0 dus 0/0?
Mag je dan l'Hospital toepassen? Is mijn redenering juist?
Re: Limiet met oneindig in macht
Geplaatst: za 12 nov 2011, 22:04
door Safe
Er is een standaardlimiet:
\(\lim_{x\to 1}\frac{\ln(x)}{x-1}=1\)
Kan je daar naar toe werken ...
(Geen l'Hopital)
Als je wel 'Hopital wilt gebruiken dan ...
Vraag: kan je deze limiet bewijzen?
Re: Limiet met oneindig in macht
Geplaatst: za 12 nov 2011, 23:40
door Siron
patrick3004 schreef:Ja maar we hebben hem enkel gebruikt bij 0/0 of
/
.
Ik kan
\({\tan^2(x)}\)
herschrijven als 1/(1/
\({\tan^2(x)}\)
).
1/(1/
\({\tan^2(x)}\)
)=1/0
Als je deze 1/0 vermenigvuldigt met ln(sin(x)) geeft dit (1/0)*0 dus 0/0?
Mag je dan l'Hospital toepassen? Is mijn redenering juist?
Persoonlijk zou ik
\(\tan^2(x)=\frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}\)
gebruiken om verder te gaan, nu krijg je wel een onbepaaldheid waar je l'Hopital kan gebruiken en dus kan je hier mee verder of als je zonder l'Hopital wilt werken moet je naar de post van Safe kijken ...
(Misschien handig om ze allebei eens uit te proberen).
Verder is het belangrijk dat je goed snapt welke stappen er allemaal genomen zijn. Limieten waarbij de onbepaaldheden van de types
\(0^0, 0^{\infty}, ...\)
voorkomen worden dikwijls op deze manier opgelost omdat de overgang op de e-macht ervoor zorgt dat we in de meeste gevallen l'Hopital gaan kunnen gebruiken.
Re: Limiet met oneindig in macht
Geplaatst: zo 13 nov 2011, 13:09
door patrick3004
Mijn volledige oefening
Ik heb in m'n uitleg
\(\lim_{x\to \frac{\pi}{2}} e^{\ln[\sin(x)^{\tan^2(x)}]}=e^{\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \ln[\sin(x)^{\tan^2(x)}]\)
gebruikt die Siron me had gegeven. Ik begrijp deze stap echter niet :S
