Wetenschapsforum

Ik zou de volgende ongelijkheid willen aantonen.

Iemand die me hier een tip voor zou kunnen geven? Ik geraak er niet meteen uit. Had eerst gedacht aan afschatten, maar dat lijkt niet te werken.
(n>3)

Bedankt!

Waar komt dat vandaan?

Dit vraagstuk volgt uit de wiskundige vertaling van het feit dat de vormfactor optimaal is voor n=3 in de materiaalkunde.

nu heb ik weinig verstand van wiskunde ,maar als je n=1 neemt, kom je al in de problemen.

Heb je gelijk in, vandaar dat ik net n>3 heb toegevoegd. Dit getal n stelt namelijk het aantal hoekpunten voor van een profieldoorsnede en je hebt pas een veelhoek voor n>2.

In physics I trust schreef: ↑ma 11 nov 2013, 21:28
Dit vraagstuk volgt uit de wiskundige vertaling van het feit dat de vormfactor optimaal is voor n=3 in de materiaalkunde.

Dit zegt me niets, welke maximale waarde kan n hebben?

De waarde van n kan zo groot willen als je wil, als je n heel groot neemt, dan spreek je eigenlijk over een cirkel.

Misschien werkt:

vervang n door x (discrete -> continue variabele) en kijk naar f(x) = linkerlid - rechterlid van de ongelijkheid

(1) f(x) monotoon stijgend,

(2) f(x) < 0 voor x=3 en

(3) Limiet x →∞ van f(x) = 0.

Dan moet f(x) < 0 zijn voor alle x>3

(1) moet je nog wel even aantonen...

(1) heb ik geprobeerd door de afgeleide te nemen, maar die is bijzonder ingewikkeld, dus daar loop ik vast.

Probleem opgelost door continu te maken en in serie te ontwikkelen. Desalniettemin bedankt voor de suggesties.

Wat bedoel je juist met de vormfactor? de verhouding van het traagheidsmoment (?) tov. ???

En ik veronderstel dat dit verband houdt met je vorige vraag aangaande het traagheidsmoment van een veelhoek? Kun je even verduidelijken, dit lijkt me interessant...

Heb je gelijk in. De vormfactor wordt gedefinieerd als:
Deze waarde komt eigenlijk van een verhouding van momenten (elastisch en plastisch) als ik me niet vergis. Om je materiaal zo efficiënt mogelijk te gebruiken, dient deze waarde zo hoog mogelijk te zijn: dit biedt de meest economische sectie. Door aan te tonen dat deze functie een maximum vertoont voor n=3 (let alleen op natuurlijke waarden, n stelt het aantal hoeken voor van een regelmatige veelhoek), kan je wiskundig aantonen dat een driehoek efficiënter materiaalgebruik vertoont voor stijfheid dan bijvoorbeeld een cirkelvormige sectie.

Daarvoor diende dus de enerzijds de oppervlakte van een n-hoek berekend te worden (elementaire goniometrie). Maar anderzijds ook het traagheidsmoment ten opzichte van de x-as.

Uiteindelijk heb ik het traagheidsmoment van één direhoek bepaald, en deze via de traagheidstensor geroteerd.

I'=A*I*At

Uit elk van deze 2n rechthoekige driehoeken, heb ik telkens dan de niet-geroteerde waarde van het traagheidsmoment afgezonderd, wat overblijft is de goniometrische som die elders op het forum rondzwerft

Op die manier bekom je uiteindelijk de uitdrukking:
Deze functie dalend vanaf n=3.

Voor natuurlijke waardes kan je dus aantonen dat de uitdrukking een maximum vertoont door bovenstaande ongelijkheid. Alternatief is afleiden, maar dit geeft iets vreselijk ingewikkeld. Uiteindelijk was een taylor-reeks de correcte methode.

Nooit gedacht dat een driehoekige sectie ook voordelen kon hebben...

Indien dit de meest economische vorm is, vraag ik me af waarom dit niet verder gecommercialiseerd is.

Ik heb enkele catalogen van stafmateriaal bij de hand, maar geen enkele levert driehoekige secties.

Interessante vraag. Hiervind je meteen ook het antwoord: voor holle secties, is de cirkelvormige dan weer stijver.