[wiskunde] beschouw de lineaire afbeelding

Moderators: ArcherBarry, Drieske, Fuzzwood

Reageer
Berichten: 34

beschouw de lineaire afbeelding

Dit is misschien een domme vraag maar zou iemand me kunnen zeggen hoe ik dit moet oplossen?
Ik denk dat ik op een omgekeerde wijze moet werken...
 
Beschouw de lineaire afbeelding L:IR3 -> IR2 met matrix voorstelling
 
           Lba = ( 4  2  1 )
                        ( 0  1  3 )
 
ten opzichte van de basissen a = {(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)} en b = {(1,0),(1,1)}
 
1) bepaal een basis en de dimensie van Ker(L) en Im(L).
2) bepaal het functievoorschrift van de lineaire afbeelding L.
 
Alvast bedankt!

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.
Gebruikersavatar
Berichten: 24.466

Re: beschouw de lineaire afbeelding

1) De kern van L is de deelruimte van R³ die alle vectoren bevat die door L op de nulvector worden afgebeeld; het zijn dus de oplossingen van:
 
\(\begin{pmatrix}4&2&1\\0&1&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}\)
 
Kan je dat stelsel oplossen? Als je de verzameling in parametervorm schrijft, kan je een basis gewoon aflezen.
 
Het beeld van L is de verzameling van alle beelden en die wordt voortgebracht door de kolommen van de matrix van de lineaire afbeelding. Als die niet lineair onafhankelijk zijn (wat het geval zal zijn, want drie vectoren in R² zijn noodzakelijk lineair afhankelijk), dan kan je ze 'uitdunnen' tot een basis.
 
2) Zie je eerdere vraag; laat de matrix los op (x,y,z) en je hebt een voorschrift.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 34

Re: beschouw de lineaire afbeelding

Ik heb dan als mogelijke basis van Ker(L): {(4,2,1)}
en als mogelijke basis van Im(L): {(4,0),(2,1)}
 
voor vraag 2 heb ik dan {(4x+2y+z),(y+3z)}
 
maar ik heb het gevoel dat dit niet klopt...

Gebruikersavatar
Berichten: 24.466

Re: beschouw de lineaire afbeelding

WannebeWiskundige schreef:Ik heb dan als mogelijke basis van Ker(L): {(4,2,1)}

Nee, dat klopt niet. Wat is de oplossing van het (homogeen) stelsel?

 
WannebeWiskundige schreef:en als mogelijke basis van Im(L): {(4,0),(2,1)}

Klopt: eender welke twee van de drie kolommen kan je als basis gebruiken; of eender welke basis van R².

 
WannebeWiskundige schreef:voor vraag 2 heb ik dan {(4x+2y+z),(y+3z)}
 
Een beetje vreemd genoteerd als een verzameling van twee elementen? Ik zou zeggen:
 
\(f(x,y,z) = (4x+2y+z,y+3z)\)
 
Of met kolomvectoren.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 34

Re: beschouw de lineaire afbeelding

alvast bedankt!
 
ik heb het homogeen stelsel nog eens opgelost,
als mogelijke basis van Ker(L) heb ik nu {(-5/4,3,-1)}.
 
Klopt dit nu?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.466

Re: beschouw de lineaire afbeelding

Ja, dat is wel goed!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer