related rates

Moderators: dirkwb, Drieske

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 1.678

related rates

Een raket heeft op 2km hoogte een verticale snelheid van 300km/h.
Wat is op dat moment de toename van de elevatiehoek Θ ,waargenomen door een persoon op de grond op 5km van het lanceerplatform.
mijn berekening geeft ω=dΘ/dt=v/r=1/60 rad/sec≈0,0166666 rad/sec
raket.jpg
raket.jpg (18.93 KiB) 16 keer bekeken
De juiste uitkomst is echter 15/1044 rad/s ≈ 0,014367816 rad/s
Het verschilt teveel, waar gaat het fout?
 
Moeders tred is uit alle andere te herkennen

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.
Gebruikersavatar
Berichten: 24.466

Re: related rates

Als de hoogte x is, wordt de hoek gegeven door arctan(x/5). Als je wil eindigen in rad/s, de afstanden ook uitdrukken in meters (voor de verhouding 2/5 = 2000/5000 maakt dat natuurlijk niet uit). Dan geldt (kettingregel):
 
\(\frac{\mbox{d}\Theta}{\mbox{d}t}=\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}\left(\arctan\frac{x}{5000}\right)\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}t}\left(\frac{x}{5000}\right)=\frac{1}{1+\left(\frac{x}{5000}\right)^2}\frac{1}{5000}\frac{\mbox{d}x}{\mbox{d}t}\)
 
De snelheid waarmee x(t) verandert is gegeven, ook hier omzetten in m/s; dus op het moment van x = 2(000):
 
\(\frac{\mbox{d}\Theta}{\mbox{d}t}=\frac{1}{1+\left(\frac{2}{5}\right)^2}\frac{1}{5000}\frac{300}{3.6}\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 1.678

Re: related rates

Oke, dus mijn voorstelling van zaken is te simpel en nog fout ook!
Het lijkt meer op een benadering!
Moeders tred is uit alle andere te herkennen

Gebruikersavatar
Berichten: 24.466

Re: related rates

ukster schreef: Oke, dus mijn voorstelling van zaken is te simpel en nog fout ook!
Het lijkt meer op een benadering!
 
Eigenlijk begreep ik niet goed wat je daar precies deed:
 
ukster schreef: mijn berekening geeft ω=dΘ/dt=v/r=1/60 rad/sec≈0,0166666 rad/sec
 
Wat zijn v en r? Waar gebruik je de snelheid waarmee de raket beweegt? En waar gebruik je het gevraagde moment (nl. wanneer de raket 2km hoog is)?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 1.678

Re: related rates

v snelheidscomponent loodrecht op waarnemer en r afstand tot waarnemer
 
v=ω.r
 
ω=dΘ/dt
Moeders tred is uit alle andere te herkennen

Berichten: 6.976

Re: related rates

De ontbinding van de snelheid is onjuist (zie rode lijn).
Ontbinding.png
Ontbinding.png (34.46 KiB) 19 keer bekeken

Gebruikersavatar
Berichten: 1.678

Re: related rates

Ach...natuurlijk!
raket.jpg
raket.jpg (16.82 KiB) 21 keer bekeken
Dan wordt ω=Θ'=dΘ/dt = (300/3,6).5/√29/√2,9.107 =0,014367816 rad/s en dat is correct!
Toch wel iets sneller en zeker eenvoudiger (zonder differentiëren) dan de (formeel juiste )methode van TD in bericht #2
 
Als de verticale snelheid gelijk blijft (300km/h) kom ik op een hoekvertraging α=Θ''= 0,000176076 rad/s2≈0,01º/s2
Moeders tred is uit alle andere te herkennen

Gebruikersavatar
Berichten: 1.678

Re: related rates

d.w.z. gemiddeld (α=Δω/Δt) (tussen 2km en 3km hoogte)
Moeders tred is uit alle andere te herkennen


Reageer