Lagrange

Moderators: dirkwb, Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 1.680

Lagrange

L bevat de twee parameters Θ en x, en hun afgeleide.
Met de Lagrange vergelijking kunnen twee bewegingsvergelijkingen gevonden worden.
Lagrange.jpg
Lagrange.jpg (24.38 KiB) 42 keer bekeken
Ik zou dit zelf willen oplossen, maar zie niet hoe of wat!
Iemand een hint?
groet. :shock:
 
Moeders tred is uit alle andere te herkennen

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.
Gebruikersavatar
Berichten: 1.680

Re: Lagrange

correctie!
Lagrange.jpg
Lagrange.jpg (9.22 KiB) 40 keer bekeken
Moeders tred is uit alle andere te herkennen

Gebruikersavatar
Berichten: 1.348

Re: Lagrange

Als ik het goed begrijp heb je geen randvoorwaardes en is Qi=0
 
Dan
 
\(\frac{d}{dt}(\frac{\delta L}{\delta \dot{x}}})=\frac{\delta L}{\delta x}\)
 
en
 
\(\frac{d}{dt}(\frac{\delta L}{\delta \dot{\theta}}})=\frac{\delta L}{\delta \theta}\)
 
Als ik me niet heb vergist levert dat
 
\((M+m)\ddot{x}-m.l.\dot{\theta}.\ddot{x}.cos(\theta)=0\)
 
en
 
\(-m.l.\dot{x}.cos(\theta)+m.l^{2}.\ddot{\theta}=m.l.\dot{\theta}.\dot{x}.sin(\theta)+m.g.l.sin(\theta)\)
 
Twee gekoppelde differentiaalvergelijkingen die in ieder geval numeriek op te lossen zijn.
 
Wat is het systeem of vraagstuk waar deze Lagrangiaan over gaat?

Gebruikersavatar
Berichten: 1.680

Re: Lagrange

Het gaat om dit omgekeerde slinger systeem.
Er zijn verder geen randvoorwaarden.
Inverted pendulum system.jpg
Inverted pendulum system.jpg (21.98 KiB) 40 keer bekeken
 
dit moet eruit komen!
Bewegingsvergelijkingen.jpg
Bewegingsvergelijkingen.jpg (17.1 KiB) 40 keer bekeken
 
daarbij is dit toegepast ...
Lagrange toepassing.jpg
Lagrange toepassing.jpg (57.41 KiB) 40 keer bekeken
Moeders tred is uit alle andere te herkennen

Gebruikersavatar
Berichten: 1.680

Re: Lagrange

Ik begrijp dit ook niet!
oplossing.jpg
oplossing.jpg (31.41 KiB) 40 keer bekeken
Moeders tred is uit alle andere te herkennen

Gebruikersavatar
Berichten: 1.680

Re: Lagrange

de afleiding van L kan ik goed volgen, maar Lagrange is mij een raadsel.. :(
Inverted pendulum system.pdf
(161.71 KiB) 31 keer gedownload
Moeders tred is uit alle andere te herkennen

Gebruikersavatar
Berichten: 1.348

Re: Lagrange

Er zijn een aantal zaken die me niet duidelijk zijn of die niet kloppen:
 
1. In de eerste term van de Lagrange-Euler vgl. moet eerst de afgeleide van L naar de afgeleide van g genomen worden, en dan van dit resultaat dan de afgeleide naar de tijd. Er ontbreekt dan een puntje boven de gi.
 
2. gi=x geeft de vergelijking voor de x-richting van M en een bijdrage voor de x-positie van m;
gi=θ geeft de tweede bijdrage voor m in de x-richting, plus de beweging van m in de y-richting, plus de term voor de potentiële energie.
 
3. Is F een aangelegde kracht? Of wordt M bijvoorbeeld oscillerend bewogen (zodat x, x' en x'' bekend zijn en F verder niet bekend hoeft te zijn)?

Gebruikersavatar
Berichten: 1.348

Re: Lagrange



Gebruikersavatar
Berichten: 1.680

Re: Lagrange

F is de uitgeoefende kracht van een servomotor op het karretje

Er ontbreekt dan een puntje boven de gi.??
ik kan dat niet beoordelen omdat Lagrange voor mij vooralsnog een brug te ver is.
Als ik er zo naar kijk denk ik dat je gelijk hebt.
geldt ook zoiets voor de 2e gi?
De uitkomsten van de genoemde bewegingsvergelijkingen voor dit model zijn geverifieerd en blijken correct..
 
 
Moeders tred is uit alle andere te herkennen

Gebruikersavatar
Berichten: 1.348

Re: Lagrange

Zonder het puntje boven de eerste g klopt de vergelijking dimensioneel niet; de eerste term heeft dan een s-1 door de d/dt die de tweede term niet heeft.

Gebruikersavatar
Berichten: 1.680

Re: Lagrange

dit dus?
Lagrangiaan.jpg
Lagrangiaan.jpg (23.65 KiB) 39 keer bekeken
Moeders tred is uit alle andere te herkennen

Gebruikersavatar
Berichten: 1.348

Re: Lagrange

Volgens mij in die trant, al zie ik niet waar de laatste term in de 'F=..' vergelijking vandaan komt, die met θ' 2.
Maar ik zal er later wat beter naar kijken. Wat ik in #3 schreef klopt in ieder geval niet.

Gebruikersavatar
Berichten: 1.680

Re: Lagrange

toepassen van de productregel en het klopt....
produktregel.jpg
produktregel.jpg (42.56 KiB) 39 keer bekeken
Moeders tred is uit alle andere te herkennen

Gebruikersavatar
Berichten: 1.348

Re: Lagrange

Het klopt!  ;)

Gebruikersavatar
Berichten: 1.680

Re: Lagrange

De Lagrangiaan afbreken in afzonderlijke stukjes en hier en daar de productregel toepassen werkt het beste ben ik achter gekomen.(je behoudt hiermee het overzicht)
2e bewegingsvergelijking.jpg
2e bewegingsvergelijking.jpg (85.47 KiB) 39 keer bekeken
Langrange schijnt de voorkeur te hebben boven de oplossingsmethode via de wetten van Newton.
Ik heb dit principe ook nog even toegepast op een eenvoudige wrijvingsloze slinger.
Eenvoudige wrijvingsloze slinger.pdf
(109.14 KiB) 22 keer gedownload
Het is me nu allemaal wel duidelijk en uiteindelijk valt het best mee.  
 
Moeders tred is uit alle andere te herkennen

Reageer