coefficient

Moderators: dirkwb, Drieske

Gebruikersavatar
Berichten: 1.710

coefficient

(x-3)/((x2 -3x+2)
Het lijkt me dat deze expressie eerst in een reeks moet worden uitgedrukt om de coëfficiënt van x50 te kunnen bepalen.
kan dit in een standaardreeks gegoten worden?

 
Moeders tred is uit alle andere te herkennen

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.
Gebruikersavatar
Berichten: 4.122

Re: coefficient

\( \frac{x - 3}{x^2 - 3 x + 2} = \sum_{i=0}^{\infty} \mbox{a}_i \, x^i \)
 
\( x - 3 = (x^2 - 3 x + 2) \cdot \sum_{i=0}^{\infty} \mbox{a}_i \, x^i \)
 
\( x - 3 = x^2 \cdot \sum_{i=0}^{\infty} \mbox{a}_i \, x^i \,\,\, - \,\,\, 3 x \cdot \sum_{i=0}^{\infty} \mbox{a}_i \, x^i \,\,\, + \,\,\, 2 \cdot \sum_{i=0}^{\infty} \mbox{a}_i \, x^i \)
 
\( x - 3 = \sum_{i=0}^{\infty} \mbox{a}_i \, x^{i+2} \,\,\, - \,\,\, \sum_{i=0}^{\infty} 3 \cdot \mbox{a}_{i} \, x^{i+1} \,\,\, + \,\,\, \sum_{i=0}^{\infty} 2 \cdot \mbox{a}_i \, x^i \)
 
En dan verder uitwerken tot je een oneindig stelsel vergelijkingen voor de coëfficiënten krijgt...
 
Maar ik weet niet of dat wiskundig gesproken kan en mag, en heb er nu ook geen tijd voor om het uit te zoeken. :?

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 3.254

Re: coefficient

Het lijkt me dat deze expressie eerst in een reeks moet worden uitgedrukt om de coëfficiënt van x50 te kunnen bepalen.
Kun je in dat verband eens aangeven wat eigenlijk precies je bedoeling is?
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Gebruikersavatar
Berichten: 1.710

Re: coefficient

De bedoeling is het vinden van de coëfficiënt van de term x50 uit de machtreeks van de expressie (x-3)/(x2-3x+2)
 
@prof Puntje
Ik kan het allemaal volgen maar:
[attachment=27188:coëfficiënt.jpg]
dan is de coëfficiënt van x50 (rechterkant = teken)  a48 -3a49+2a50     , en die zijn allemaal onbekend!
en wat kan de term x-3 aan de linkerkant hieraan bijdragen?
 
En dan verder uitwerken tot je een oneindig stelsel vergelijkingen voor de coëfficiënten krijgt...
dat is wel heel veel :D
Bijlagen
coefficient.jpg
coefficient.jpg (7.18 KiB) 149 keer bekeken
Moeders tred is uit alle andere te herkennen

Gebruikersavatar
Berichten: 4.122

Re: coefficient

x - 3 = -3 + x + 0.x2 + 0.x3 + 0.x4 + ....
 
Daaruit vind je een stelsel van oneindig veel vergelijkingen voor de coëfficiënten, wat dan hopelijk oplosbaar is.

Gebruikersavatar
Berichten: 1.710

Re: coefficient

je bedoelt dat het praktisch onmogelijk is in deze vorm de gevraagde coëfficiënt te bepalen?
Moeders tred is uit alle andere te herkennen

Gebruikersavatar
Berichten: 4.122

Re: coefficient

Je kunt met a0 beginnen? Hopelijk volgt dan uit het een het ander tot je genoeg a-tjes weet. :D
 
Maar of dat wiskundig allemaal in de haak is weet ik niet, daar heb ik nu geen tijd voor om uit te zoeken. Anderen zullen die kennis wel paraat hebben. ;)

Gebruikersavatar
Berichten: 1.710

Re: coefficient

Inderdaad geen dagelijkse kost maar wel interessant omdat je weet dat er bij elke term in een machtreeks een coëfficiënt hoort.
Moeders tred is uit alle andere te herkennen


Gebruikersavatar
Berichten: 24.484

Re: coefficient

ukster schreef: De bedoeling is het vinden van de coëfficiënt van de term x50 uit de machtreeks van de expressie (x-3)/(x2-3x+2)
 
Maar er is niet zoiets als "de machtreeks van die expressie", dus wat is de opgave precies of waar komt dit vandaan?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 1.710

Re: coefficient

De reeks ervan is niet bekend en zal eerst gevonden moeten worden om uiteindelijk de coëfficiënt van x50 te kunnen bepalen.. 
x50 is willekeurig gekozen
Ik denk aan ombouwen van de expressie zodat een vorm ontstaat waarvan de reeks wel bekend is.
Moeders tred is uit alle andere te herkennen

Gebruikersavatar
Berichten: 4.122

Re: coefficient

Probeer eerst eens of je a0 kunt vinden, dan of je met behulp van a0 ook a1 kunt vinden, dan of je met behulp van a0 en a1 ook a2 kunt vinden, enz.

Gebruikersavatar
Berichten: 1.710

Re: coefficient

Je bedoelt a0 van de (macht)reeks van (x-3)/(x2-3x+2) ....maar ik zou niet weten hoe......
Nu even naar Schiphol heen en weer :D
Moeders tred is uit alle andere te herkennen

Gebruikersavatar
Berichten: 24.484

Re: coefficient

Ik ga ervan uit dat je dus de reeksontwikkeling rond x = 0 bedoelt. Splits in partieelbreuken:
 
\(\frac{x-3}{x^2-3x+2}=\frac{2}{x-1}-\frac{1}{x-2}=-2\frac{1}{1-x}+\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{x}{2}}\)
 
Je hebt nu twee standaardreeksen (meetkundig):
 
\(-2\frac{1}{1-x}+\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{x}{2}}=-2\sum_{n=0}^{\infty}x^n+\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x}{2}\right)^n\)
 
Neem de term horend bij n = 50 voor de coëfficiënt van x50, je krijgt:
 
\(-2+\frac{1}{2}\frac{1}{2^{50}}=-2+\frac{1}{2^{51}}=-\frac{4503599627370495}{2251799813685248}\)
 
en dat blijkt (controle) correct.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 4.122

Re: coefficient

@ TD
 
Slim, en veel sneller dan mijn methode. ;)

Gebruikersavatar
Berichten: 1.710

Re: coefficient

Strakke oplossing! da's duidelijk.
Het ontbrak mij aan het paraat hebben van de (benodigde) inzichten en vaardigheden 8-[
 
Bij de volgende reeks kom ik uit op een (fout) antwoord.
 
Vind de coëfficiënt van x62 van de expressie (1+x5 +x7)20  
 
Ik zou zeggen: 62 = 4x5+6x7  (x62 = x5x5x5x5x7x7x7x7x7x7)
x5x5x5x5 kan op 20C4= 4845 manieren geselecteerd worden uit 20 multicands
x7x7x7x7x7x7 kan op 16C6= 8008 manieren geselecteerd worden uit de overige 16 multicands
De binominaalcoefficient van x62 is dan 4845 x 8008 = 38798760 (Het juiste antwoord is 40310400)
Wat doe ik hier fout?   
 
Moeders tred is uit alle andere te herkennen

Reageer