Particuliere oplossing

Moderators: dirkwb, Drieske

Reageer
Berichten: 1

Particuliere oplossing

Ik heb de som  dT/dt = -0.035(T-18)
 
De particuliere oplossing is T = 18 maar ik zou daar graag uitleg bij willen hebben waarom dit is en wat een particuliere oplossing precies is.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.
Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 3.255

Re: Particuliere oplossing

Kijk voor het begrip particuliere oplossing eens op https://nl.wikipedia.org/wiki/Differentiaalvergelijking onder 4.1.3.2
Hoe kun je controleren dat T = 18 een oplossing van de hier gegeven d.v. is? Zie je ook kans om de algemene oplossing van deze d.v. te vinden?
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Berichten: 224

Re: Particuliere oplossing

De oplossing T=18 is een evenwichtsoplossing: de rechterkant is dan nul, en de linkerkant ook (de afgeleide van een constante is immers nul).

Bij lineaire dvg's (waarin de functie en afgeleides lineair voorkomen) is de som van 2 oplossingen weer een oplossing. Dat gegeven laat mensen de meest algemene oplossing schrijven als een homogeen stuk en een niet-homogeen stuk. Dat laatste stuk noemen we de particliere oplossing. Je vergelijking dT/dt = -0.035(T-18) kunnen we ook schrijven als
 
\( \frac{dT}{dt} + 0,035T = 0,63 \ \ \ \ \ \ \ (1) \)
                             
 
De rechterkant noemen we de inhomogene term. De homogene variant van deze dvg is
 
\( \frac{dT}{dt} + 0,035T = 0 \)
 
en de oplossing kunnen we ##T_H## noemen, oftewel de homogene oplossing. Als jij nu een oplossing hebt gevonden van de inhomogene vergelijking (1), dan mag je hierbij ##T_H## optellen! De resulterende oplossing voldoet nog steeds aan je oorspronkelijke dvg (1)! Dit kun je zelf bewijzen. Daarom schrijven we de meest algemene oplossing van (1) ook wel als
 
\( T(t) = T_H(t) + T_p (t) \)
 
waarbij de p voor "particulier" staat. Dit is simpelweg een manier om je oplossing op te breken in een homogeen stuk en een inhomogeen stuk.
 
Jouw vergelijking kun je simpel oplossen met scheiden van variabelen, maar wanneer dvg's ingewikkelder worden dan de jouwe, dan blijkt dit een buitengewoon handige manier te zijn om oplossingen te vinden.

Reageer