Moeilijke stap in bewijs

Moderators: dirkwb, Drieske

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 4.122

Moeilijke stap in bewijs

De onderstaande stap in een afleiding kan ik vooralsnog niet volgen:
stap.png
stap.png (64.6 KiB) 43 keer bekeken
Wie ziet er wat hier gebeurt?
 
(Voor achtergronden zie dit topic berichtjes 29 en verder.)
 

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.
Gebruikersavatar
Berichten: 4.122

Re: Moeilijke stap in bewijs

\( \frac{nt}{\cos r} + t \tan i \sin i - t \tan r \sin i - n t - \frac{t}{\cos i} + t = \frac{N \lambda}{2} \)
 
\( \frac{n}{\cos r} + \tan i \sin i - \tan r \sin i - n - \frac{1}{\cos i} + 1 = \frac{N \lambda}{2 t} \)
 
\( n \frac{\sin^2 r + \cos^2 r}{\cos r} + \tan i \sin i - \tan r \sin i - n - \frac{\sin^2 i + \cos^2 i}{\cos i} + 1 = \frac{N \lambda}{2 t} \)
 
\( n \tan r \sin r + n \cos r + \tan i \sin i - \tan r \sin i - n - \tan i \sin i - \cos i + 1 = \frac{N \lambda}{2 t} \)
 
\( n \tan r \sin r + n \cos r - \tan r \sin i - n - \cos i + 1 = \frac{N \lambda}{2 t} \)
 
\( n \tan r \sin r + n \cos r - \tan r \sin i - n + (1 - \cos i) = \frac{N \lambda}{2 t} \)
 
\( \frac{\sin i}{\sin r} \tan r \sin r + n \cos r - \tan r \sin i - n + (1 - \cos i) = \frac{N \lambda}{2 t} \)
 
\( \sin i \tan r + n \cos r - \tan r \sin i - n + (1 - \cos i) = \frac{N \lambda}{2 t} \)
 
\( n \cos r - n + (1 - \cos i) = \frac{N \lambda}{2 t} \)
 
\( n \cos r = n - (1 - \cos i) + \frac{N \lambda}{2 t} \)
 
\( n^2 \cos^2 r = \left ( n - (1 - \cos i) + \frac{N \lambda}{2 t} \right )^2 \)
 
\( n^2 (1 - \sin^2 r) = \left ( n - (1 - \cos i) + \frac{N \lambda}{2 t} \right )^2 \)
 
\( n^2 \left (1 - \frac{\sin^2 i}{n^2} \right ) = \left ( n - (1 - \cos i) + \frac{N \lambda}{2 t} \right )^2 \)
 
\( n^2 - \sin^2 i = \left ( n - (1 - \cos i) + \frac{N \lambda}{2 t} \right )^2 \)
 
\( \begin{array} \, n^2 - \sin^2 i \\ = \\ n^2 - n (1 - \cos i) + n \frac{N \lambda}{2 t} \\ + \\ -n (1 - \cos i) + (1 - \cos i )^2 - (1 - \cos i) \frac{N \lambda}{2 t} \, \\ + \\ \, n \frac{N \lambda}{2 t} - (1 - \cos i) \frac{N \lambda}{2 t} + \frac{N^2 \lambda^2}{4 t^2} \, \end{array} \)
 
\( - \sin^2 i = - 2n (1 - \cos i) + 2n \frac{N \lambda}{2 t} + (1 - 2 \cos i + \cos^2 i) - 2(1 - \cos i) \frac{N \lambda}{2 t} + \frac{N^2 \lambda^2}{4 t^2} \)
 
\( 0 = - 2n (1 - \cos i) + 2n \frac{N \lambda}{2 t} + (1 - 2 \cos i + \cos^2 i + \sin^2 i) - 2(1 - \cos i) \frac{N \lambda}{2 t} + \frac{N^2 \lambda^2}{4 t^2} \)
 
\( 0 = - 2n (1 - \cos i) + 2n \frac{N \lambda}{2 t} + (2 - 2 \cos i ) - 2(1 - \cos i) \frac{N \lambda}{2 t} + \frac{N^2 \lambda^2}{4 t^2} \)
 
\( 0 = - 2n (1 - \cos i) + n \frac{N \lambda}{t} + (2 - 2 \cos i ) - (1 - \cos i) \frac{N \lambda}{t} + \frac{N^2 \lambda^2}{4 t^2} \)
 
\( 0 = - n (1 - \cos i) 2t + n N \lambda + (1 - \cos i ) 2t - (1 - \cos i) N \lambda + \frac{N^2 \lambda^2}{4 t} \)
 
\( n (1 - \cos i) 2t - n N \lambda = 2t (1 - \cos i ) - N \lambda (1 - \cos i ) + \frac{N^2 \lambda^2}{4 t} \)
 
\( n [(1 - \cos i) 2t - N \lambda ] = (2t - N \lambda)(1 - \cos i) + \frac{N^2 \lambda^2}{4 t} \)
 
 
Zo - dat was een hele bevalling!
 

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 7.414

Re: Moeilijke stap in bewijs

Ja.. Daar was ik nooit uitgekomen.
Motus inter corpora relativus tantum est.

Gebruikersavatar
Berichten: 4.122

Re: Moeilijke stap in bewijs

Tijdens mijn dagelijkse meditatie kreeg ik gisteren ineens de inval om 1/cos via sin^2 + cos^2 = 1 in de teller om te werken. Daarom heb ik het nog eens geprobeerd, en toen er ook nog termen tegen elkaar wegvielen kreeg ik er weer vertrouwen in. Op zich was het geen hogere wiskunde, maar door het grote aantal kunstgrepen dat je onderweg moet toepassen lijkt de onderste vergelijking nauwelijks meer op de bovenste. Daarom had ik ook mijn twijfels of de formule wel klopte. Aan de andere kant zijn formules in op het oog degelijke leerboeken meestal wel correct. Dat was weer een hele belevenis!

Reageer