polaire coordinaten

Moderators: dirkwb, Drieske

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 1.710

polaire coordinaten

Bepaal de oppervlakte van een blad.
r=cos(3theta).jpg
r=cos(3theta).jpg (30.51 KiB) 206 keer bekeken
dA.jpg
dA.jpg (14.09 KiB) 206 keer bekeken
Is dit de enige manier van oplossen?
dubbele integraal.jpg
dubbele integraal.jpg (4.03 KiB) 206 keer bekeken
,met dA=r.dr.dθ
 
Moeders tred is uit alle andere te herkennen

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.
Berichten: 468

Re: polaire coordinaten

Nee dat is niet de enige methode, (maar wel de handigste).
Je kan ook de grens omschrijven naar xy-coordinaten en dan over x en y integreren.
 
Als je beide hebt gedaan, zal je zien dat poolcoordinaten voor sommige problemen best handig zijn.

Gebruikersavatar
Berichten: 1.710

Re: polaire coordinaten

oppervlakte blad berekenen.
De rechtse figuur is volgens mij de presentatie van de horizontale lob in het x-y assenstelsel. De oppervlakte hiervan is 2/3
Polar vs Cartesian.jpg
Polar vs Cartesian.jpg (58.14 KiB) 205 keer bekeken
oppervlakte.jpg
oppervlakte.jpg (3.05 KiB) 205 keer bekeken
?
 
De dubbele integraal geeft π/12 als uitkomst voor de oppervlakte van de horizontale lob in de linker figuur.
 
Ik zie even niet waarmee ik in de fout ga.
Moeders tred is uit alle andere te herkennen

Berichten: 468

Re: polaire coordinaten

Maar die rechter figuur is duidelijk niet dezelfde als de linker.

Je plot y=cos(3x)

Maar je moet het stelsel:

y=sin(t)*r = sin(t) * cos(3t)

x=cos(t)*r = cos(t) * cos(3t)

Plotten voor t=-pi/6..pi/6

Bij nader inzien is dat nog niet zo makkelijk om te zetten zodat y een functie van x wordt.

Gebruikersavatar
Berichten: 1.710

Re: polaire coordinaten

zou dit dan hetzelfde opleveren?
cartesian.jpg
cartesian.jpg (4.58 KiB) 205 keer bekeken
en wat is dan x1,x2 en y1,y2?
zo dus?
cartesian.jpg
cartesian.jpg (6.98 KiB) 205 keer bekeken
dat geeft geen π/12 ! :(
Moeders tred is uit alle andere te herkennen

Gebruikersavatar
Berichten: 24.484

Re: polaire coordinaten

In poolcoördinaten wordt de oppervlakte gegeven door
 
\(\int\frac{r^2}{2}\,\mbox{d}t\)
 
Dus hier, voor één blad horend bij het interval [-pi/6,pi/6], geeft dat:
 
\(\int_{-\tfrac{\pi}{6}}^{\tfrac{\pi}{6}}\frac{\cos^2(3t)}{2}\,\mbox{d}t=\ldots=\frac{\pi}{12}\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 1.710

Re: polaire coordinaten

Ach natuurlijk. deze integraal komt dus vanuit de dubbele integraal.
oppervlakte.jpg
oppervlakte.jpg (16.79 KiB) 205 keer bekeken
Moeders tred is uit alle andere te herkennen

Reageer