Vereenvoudiging differentiaal vergelijking met nieuwe variabelen

Moderators: dirkwb, Drieske

Reageer
Berichten: 4

Vereenvoudiging differentiaal vergelijking met nieuwe variabelen

Beste forumleden,
 
 
Ik zit met het volgende wiskundige vraagstuk: zie bijlage.
 
Hopelijk kan iemand mij verder helpen.
 
 
Alvast Bedankt!
 
Bryan
Bijlagen
vraag.pdf
(48.77 KiB) 42 keer gedownload

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.
Gebruikersavatar
Berichten: 24.484

Re: Vereenvoudiging differentiaal vergelijking met nieuwe variabelen

Dat is inderdaad de kettingregel. In de oude variabelen is u functie van x en t, dus u(x,t); in de nieuwe van ξ en η, dus u(ξ,η). De transformatieformules ξ = x-at en η = x+at bepalen hoe ξ en η functie zijn van x en t, en omgekeerd. Volgens de kettingregel geldt dan voor u(ξ(x,t),η(x,t)):
 
\(\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial x}\)
 
In jouw notatie laat men u (voorlopig) nog weg; uit de transformatieformules volgt bovendien onmiddellijk dat:
 
\(\frac{\partial \xi}{\partial x}=\frac{\partial \eta}{\partial x}=1\)
 
zodat je krijgt:
 
\(\frac{\partial}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial \xi}+\frac{\partial}{\partial \eta}\)
 
Op dezelfde manier volgt:
 
\(\frac{\partial}{\partial t}=-a\frac{\partial}{\partial \xi}+a\frac{\partial}{\partial \eta}\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 4

Re: Vereenvoudiging differentiaal vergelijking met nieuwe variabelen

Hartelijk dank voor je duidelijke antwoord! Met u ingevuld in de partiële afgeleide is het inderdaad makkelijker om te zien dat de kettingregel moet worden toegepast. Ik wist trouwens niet dat ik x en t direct vervangen mochten worden door de transformatie formules van xi en èta (dus daar ging het al mis).
 
Nogmaals dank. 

Gebruikersavatar
Berichten: 24.484

Re: Vereenvoudiging differentiaal vergelijking met nieuwe variabelen

Bryan1995 schreef:Ik wist trouwens niet dat ik x en t direct vervangen mochten worden door de transformatie formules van xi en èta (dus daar ging het al mis).
 

Vervangen of gewoon die partiële afgeleiden berekenen. Als ξ = x-at, dan is ∂ξ/∂x natuurlijk gewoon 1 (enz).
 
Bryan1995 schreef:Nogmaals dank.

Graag gedaan.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer