[wiskunde] Aantal combinaties berekenen

Moderators: ArcherBarry, Drieske, Fuzzwood

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 961

Aantal combinaties berekenen

Hoe bereken je ook alweer het aantal combinaties als je aanneemt dat alle combinaties mogelijk zijn en de groepsgrootte kan verschillen.
 
Als simpel voorbeeld nemen we aan dat we vijf ballen hebben. Deze ballen zijn genummerd van 1 t/m 5. Combinaties zijn groepjes van ≥2 ballen. Voorbeelden zijn: 1, 2, 3 en 2, 3, 4, 5 en 3, 4. Hoe vorm je de formule waarbij je gemakkelijk en snel kunt doorrekenen voor n ballen (bijv. als je hetzelfde principe wil berekenen voor 5 miljoen ballen). Let op: de volgorde maakt niet uit. Dus de combinaties 3, 4 en 4, 3 worden als één geteld.
 
Ik ben bekend met permutaties en combinaties, maar alleen met de berekening per individuele groep. Dus voor combinaties van 2 ballen zou het aantal combinaties (n! / (n-k)!) / n! zijn. In dit geval hebben we dus (5! / (5-2)!) / 2! = 10 combinaties. Voor combinaties van 3 ballen geldt dat we (5! / (5-3)!) / 3! = 10 combinaties. In het geval van combinaties van 4 ballen hebben we (5! / (5-4)!) / 4! = 5 combinaties. En in het geval van alle 5 hebben we natuurlijk slechts 1 combinatie. Nou zou je deze combinaties bij elkaar kunnen optellen als een totaal van 10 + 10 + 5 + 1 = 26 combinaties. Maar ik vroeg me af of er een gestandaardiseerde formule is om deze hoeveelheid totaal uit te rekenen voor een (zeer) groot aantal n, zonder dat ik al die individuele combinaties moet uitrekenen per n.
"In biotech moet je soms dingen doen waarvan anderen zeggen dat het onmogelijk is."

Henri A. Termeer (1946-2017)

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.
Berichten: 6.980

Re: Aantal combinaties berekenen

Via dit:
\((a + b)^N = \sum_{k = 0}^{N} {N \choose k} a^k b^{N - k}\)
naar:
\((a + b)^N = {N \choose 0} + {N \choose 1} + \sum_{k = 2}^{N} {N \choose k} a^k b^{N - k}\)
\(\sum_{k = 2}^{N} {N \choose k} a^k b^{N - k} = (a + b)^N - {N \choose 1} - {N \choose 0}\)
Stel a = b = 1:
\(\sum_{k = 2}^{N} {N \choose k} = 2^N - {N \choose 1} - {N \choose 0}\)
\(\sum_{k = 2}^{N} {N \choose k} = 2^N - N - 1\)

Berichten: 6.980

Re: Aantal combinaties berekenen

Ik zie dat ik iets niet helemaal goed heb opgeschreven. Het midden had moeten zijn:
\((a + b)^N = {N \choose 0} b^N + {N \choose 1} a b^{N - 1} + \sum_{k = 2}^{N} {N \choose k} a^k b^{N - k}\)
\(\sum_{k = 2}^{N} {N \choose k} a^k b^{N - k} = (a + b)^N - {N \choose 1} a b^{N - 1} - {N \choose 0} b^N\)

Gebruikersavatar
Berichten: 961

Re: Aantal combinaties berekenen

Dank voor de formule. Echter, zou je eventueel een kort praktisch voorbeeld kunnen toelichten?
"In biotech moet je soms dingen doen waarvan anderen zeggen dat het onmogelijk is."

Henri A. Termeer (1946-2017)

Berichten: 6.980

Re: Aantal combinaties berekenen

Ik snap niet zo goed wat ik moet toelichten...

Bijvoorbeeld N=5 (want die heb je met de hand uitgerekend):
\(2^5 - 5 - 1 = 32 - 6 = 26\)

Berichten: 6.980

Re: Aantal combinaties berekenen

Eigenlijk kan de afleiding veel makkelijker (bedenk ik me nu):
Je hebt N elementen die zich in 1 van 2 toestanden bevinden: In de groep of niet. Dit zijn dan natuurlijk \(2^N\) mogelijkheden. Hiervan moeten de groepen met maar 1 element (dat zijn er N) en de groep met geen elementen (dat is er 1) afgetrokken worden. Resultaat:
\(2^N - N - 1\)

Gebruikersavatar
Berichten: 961

Re: Aantal combinaties berekenen

Zo stond het toch ook aan het eind van bericht #2?!  :D
 
Ik begrijp alleen niet waar a en b voor staan in de formule, maar ik kan 'm toepassen en daar gaat het uiteindelijk om.
"In biotech moet je soms dingen doen waarvan anderen zeggen dat het onmogelijk is."

Henri A. Termeer (1946-2017)

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 3.265

Re: Aantal combinaties berekenen

Ik begrijp alleen niet waar a en b voor staan in de formule
Zoek maar eens op het binomium van Newton. Voor N = 2 krijg je de bekende formule (a+b)² = a²+2·a·b+b². Het binomium van Newton is hier een generalisatie van.
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel


Reageer