Dubbelintegraal met D-gebied

Moderators: dirkwb, Drieske

Reageer
Berichten: 76

Dubbelintegraal met D-gebied

Hallo!!
 
Met volgende dubbelintegraal zit ik even vast, kort weg ik weet niet hoe je hier aan moet beginnen:
 
Schermafbeelding 2019-02-03 om 18.49.45.png
Schermafbeelding 2019-02-03 om 18.49.45.png (7.64 KiB) 294 keer bekeken
 
Hierbij is het D-gebied van de dubbelintegraal ingesloten door de parabool x=
Schermafbeelding 2019-02-03 om 18.50.52.png
Schermafbeelding 2019-02-03 om 18.50.52.png (7.17 KiB) 294 keer bekeken
 
Hoe bereken ik deze dubbelintegraal het best? In onderstaande afbeelding heb ik alvast even het D-gebied getekend:
 
Schermafbeelding 2019-02-03 om 18.58.01.png
Schermafbeelding 2019-02-03 om 18.58.01.png (88.95 KiB) 294 keer bekeken

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.
Gebruikersavatar
Berichten: 24.477

Re: Dubbelintegraal met D-gebied

De parabool alleen begrenst geen gebied, dus vermoedelijk moet er nog een begrenzende kromme bij. Als er geen gegeven is, is het waarschijnlijk de y-as, of misschien een omschrijving zoals "gelegen in het eerste kwadrant"...? Laat even weten wat D precies is, dat maakt het makkelijker om je verder te helpen :).
 
Het tekenen van x = 3xy heeft geen zin: dat is noch een begrenzende kromme, noch de functie die geïntegreerd wordt; dat is immers f(x,y) = 3xy.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 76

Re: Dubbelintegraal met D-gebied

Bedankt TD voor het snelle antwoord!!

Het D-gebied is feitelijk begrensd door de parabool, de x-as en de y-as (er is geen kwadrant gegeven). Maar als men kwadranten moest gebruiken is het gebied denk ik gelegen in het 1ste en/of het 4de kwadrant. Hier is wel niets over te vinden in de opgave van de oefening.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.477

Re: Dubbelintegraal met D-gebied

Bagration schreef: Het D-gebied is feitelijk begrensd door de parabool, de x-as en de y-as (er is geen kwadrant gegeven). Maar als men kwadranten moest gebruiken is het gebied denk ik gelegen in het 1ste en/of het 4de kwadrant. Hier is wel niets over te vinden in de opgave van de oefening.
 
Dat moet natuurlijk (duidelijk) gegeven worden... Ik ga er even van uit dat ze met D het gebied bedoelen dat door de parabool en de y-as begrensd wordt (niet óók de x-as, dan zou je nog moeten specifiëren of het gaat om het deel onder of boven de x-as).
 
Je hebt de keuze om vaste grenzen voor x op te stellen (dat wordt de buitenste integraal) en dan variabele grenzen voor y (de binnenste integraal), of omgekeerd.
 
In het eerste geval projecteer je het hele gebied D op de x-as om in te zien dat het hele gebied zich bevindt tussen de verticalen x = 0 en x = 4. Bekijk nu een willekeurige x-waarde gelegen tussen 0 en 4 en merk op ("komend van beneden") dat het integratiegebied D begint vanaf de onderkant van de parabool (y = -sqrt(4-x)) en loopt tot aan de bovenkant van de parabool (y = sqrt(4-x)).
 
Mijn voorkeur gaat uit naar de andere integratievolgorde: projectie van D op de y-as toont dat het hele gebied zich bevindt tussen de horizontalen y = -2 en y = 2. Bekijk nu een willekeurige y-waarde gelegen tussen -2 en 2 en merk op ("komend van links") dat het integratiegebied D begint bij de y-as, dus vanaf x = 0, en loopt tot aan de parabool, dus tot x = 4-y².
 
Het kan een goede oefening zijn om de dubbelintegraal op beide manieren (beide integratievolgordes) uit te rekenen en te verifiëren dat je dezelfde uitkomst vindt. De tweede volgorde heeft het voordeel van vierkantswortels te vermijden.
 
---
 
Met wat inzicht vind je het ook zonder rekenen: het integratiegebied is symmetrisch ten opzichte van de x-as en de functie is oneven t.o.v. de variabele y; dus...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 76

Re: Dubbelintegraal met D-gebied

Hallo TD!!
 
Erg bedankt voor het verklarende antwoord. Na een tijdje ben ik tot volgende conclusie gekomen:
 
Als ik het goed begrijp, vul ik de integratiegrenzen netjes in met als volgorde DxDy , hieronder heb ik de afbeelding gezet:
 
Capture.JPG
Capture.JPG (2.45 KiB) 292 keer bekeken
 
Dit geeft het volgende gebied:
 
Capture.JPG
Capture.JPG (65.4 KiB) 292 keer bekeken
 
Als (en slechts als) bovenstaande bewering juist is, weet ik niet goed hoe men verder moet en voornamelijk hoe men dit in de integraal
Capture.JPG
Capture.JPG (1.41 KiB) 292 keer bekeken
invoegt.
 
Kan je hierbij helpen?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.477

Re: Dubbelintegraal met D-gebied

Als je voor die volgorde kiest, heb je de dubbelintegraal over D herleid naar twee opeenvolgende ('gewone') integralen:
 
\(\iint_D 3xy \,\mbox{d}x\,\mbox{d}y=\int_0^4\left(\int_{-\sqrt{4-x}}^{\sqrt{4-x}}\left(3xy\right)\,\mbox{d}y\right)\,\mbox{d}x\)
 
Begin met de binnenste integraal: primitieve (van 3xy) naar y, grenzen invullen, en dan verder met de buitenste integraal.
 
Kiezen voor de andere integratievolgorde (die vierkantswortels vermijdt) zou dit opleveren:
 
\(\iint_D 3xy \,\mbox{d}x\,\mbox{d}y=\int_{-2}^2\left(\int_0^{4-y^2}\left(3xy\right)\,\mbox{d}x\right)\,\mbox{d}y\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 76

Re: Dubbelintegraal met D-gebied

Hallo TD!!
 
Als ik de primitieve functie neem van 3xy, kom ik op
Schermafbeelding 2019-02-07 om 19.40.55.png
Schermafbeelding 2019-02-07 om 19.40.55.png (7.12 KiB) 292 keer bekeken
 
Maar als ik vervolgens de integratiegrenzen voor y invul, kom ik uit op 0. Hoe bereken ik dan de integraal voor dx?
 
 
(
Schermafbeelding 2019-02-07 om 19.40.10.png
Schermafbeelding 2019-02-07 om 19.40.10.png (9.49 KiB) 292 keer bekeken

Gebruikersavatar
Berichten: 24.477

Re: Dubbelintegraal met D-gebied

Ten opzichte van y is 3x een constante (factor); de primitieve van y is echter niet y/2, maar y²/2 - de afgeleide van y²/2 naar y is immers...
 
Je hebt gelijk dat de integraal 0 is. Dat is ook geen verrassing aangezien het integratiegebied D symmetrisch is ten opzichte van de x-as en de te integreren functie (3xy) een oneven functie in y is.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)


Berichten: 76

Re: Dubbelintegraal met D-gebied

Oké bedankt TD!! Het onderste gebied onder de x-as heft het bovenste deel  oven de x-as op, waardoor de uitkomst van deze opgave inderdaad nul is.
 
Nogmaals bedankt voor de duidelijke uitleg!!

Gebruikersavatar
Berichten: 24.477

Re: Dubbelintegraal met D-gebied

Oké, graag gedaan!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer