Vast bij moeilijke bepaalde integraal

Moderators: dirkwb, Drieske

Reageer
Berichten: 8

Vast bij moeilijke bepaalde integraal

Beste,
Ik zit vast bij de volgende bepaalde integraal:
\(\int _0^1\:\frac{1}{sqrt\left(-ln\left(x\right)\right)}\)
.
 
 
De oplossing volgens onze boek zou sqrt(pi) moeten zijn en de oefeningen zijn gefocusd op het werken met onbepaaldheden van de 1 en 2e orde. 
 
Iemand die weet hoe ik aan sqrt(pi) kom? Je hulp zou erg gewaardeerd zijn. 
 
Alvast bedankt
 

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.
Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 3.252

Re: Vast bij moeilijke bepaalde integraal

Stel om te beginnen eens -ln x = u, dan geldt: dx = ... Hoe komt de integraal er dan uit te zien en hoe ga je van daaruit verder?
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel


Berichten: 8

Re: Vast bij moeilijke bepaalde integraal

OK bedankt! Wij hadden nog nooit de Gauss error functie gezien... 
 
Ik heb hem ondertussen opgelost, maar ik zit nog een beetje vast met hoe ik de grenzen moet behandelen. 
 
Wat ik heb gedaan is 
 
\(\lim _{a\to 0}\int _a^{\frac{1}{2}}\:\frac{1}{\sqrt{-ln\left(x\right)}}dx+\lim \:_{b\to \:1}\int _{\frac{1}{2}}^b\:\frac{1}{\sqrt{-ln\left(x\right)}}dx\)
 
Nu is mijn vraag; heb ik deze integralen goed opgesplitst? - en is het ok dat ik de grenzen niet verander (onder invloed van substitutie) omdat ik op het laatst toch alles terug omzet naar x. 

Gebruikersavatar
Berichten: 24.477

Re: Vast bij moeilijke bepaalde integraal

Misschien heb je de errorfunctie (van Gauss) nog niet gezien, maar je zal toch op een of andere manier moeten (mogen) gebruiken dat de volgende integraal convergeert en/of gekend is - en daar heb je de errorfunctie niet voor nodig:
 
\(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}\,\mbox{d}x=\sqrt{\pi}\)
 
Vertrekkend van jouw integraal, stel -ln(x) = t² zodat x = e-t² waaruit dx = -2te-t² dt en gebruik bovenstaande integraal (+ even functie).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 24.477

Re: Vast bij moeilijke bepaalde integraal

 
Deze site zegt dat de integraal divergent is? Dat klopt niet...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 8

Re: Vast bij moeilijke bepaalde integraal

Ik zie inderdaad in onze boek staan dat
\(\int _0^{+\infty }\:e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt{\pi }}{2}\)
Ik weet dus al bij zekerheid dat wanneer ik deze integraal kan herleiden tot die vorm, deze gaat convergeren. Hoe weet ik echter welke invloed de grenzen hebben, want in deze oefening gaat de integraal van
\(\int _1^{+\infty }\:e^{-x^2}dx\)
of kan ik hier zonder de erfunctie te kennen niet direct een antwoord op geven?
TD schreef: Misschien heb je de errorfunctie (van Gauss) nog niet gezien, maar je zal toch op een of andere manier moeten (mogen) gebruiken dat de volgende integraal convergeert en/of gekend is - en daar heb je de errorfunctie niet voor nodig:
 
\(\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}\,\mbox{d}x=\sqrt{\pi}\)
 
Vertrekkend van jouw integraal, stel -ln(x) = t² zodat x = e-t² waaruit dx = -2te-t² dt en gebruik bovenstaande integraal (+ even functie).

Gebruikersavatar
Berichten: 24.477

Re: Vast bij moeilijke bepaalde integraal

Hoezo zou de ondergrens 1 zijn? Met deze substitutie:
 
TD schreef: Vertrekkend van jouw integraal, stel -ln(x) = t² zodat x = e-t² waaruit dx = -2te-t² dt en gebruik bovenstaande integraal (+ even functie).
waarbij x van 0 tot 1 liep zal t van +∞ tot 0 lopen, keer de grenzen om met een extra min-teken.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)


Reageer