[wiskunde] Convergentie nagaan integraal met ratiotest

Moderators: ArcherBarry, Drieske, Fuzzwood

Reageer
Berichten: 8

Convergentie nagaan integraal met ratiotest

Beste,
Ik zit vast met volgende integraal
\(\int _2^{+\infty }\:\frac{\left(x^2-1\right)}{\sqrt{x^6+16}}dx\)
 
De theorie in het boek waarvan ik vermoed dat we gebruik moeten maken, heb ik in bijlage toegevoegd (de ratiotest).
 
Wat ik al geprobeerd heb is, g(x) gelijk te stellen aan
\(\frac{1}{\sqrt{x^6+16}}\)
, maar dan is
\(\lim _{x\to \infty }\left(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right)\:\)
+oneindig, hiervoor hebben we geen besluit.

Ook heb ik geprobeerd om g(x) gelijk te stellen aan
\( \sqrt{x^6+16}\)
met gevolg dat
\(\lim _{x\to \infty }\left(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right)\:\)
gelijk is aan 0, maar
\(\int _2^{+\infty }\:\sqrt{x^6+16}\)
is niet convergent aangetoond en ik zie nergens in de definitie dat we hieruit de divergentie mogen afleiden, waardoor ik nog steeds geen oplossing heb. 

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.484

Re: Convergentie nagaan integraal met ratiotest

Om een 'goede functie' te vinden om mee te vergelijken, moet je je afvragen hoe de gegeven functie zich gedraagt 'voor grote x'. Je bent immers op zoek naar een andere, eenvoudigere functie waarvan je het convergentiegedrag kent, maar die wel 'lijkt' op de te onderzoeken functie.
 
Voor grote x gedraagt de teller x²-1 zich als x², je kan de constante term verwaarlozen; de noemer als sqrt(x^6) = x³; het quotiënt dus als x²/x³ = 1/x. Bereken de limiet van de ratiotest met 1/x en je zal 1 vinden, dus de oneigenlijke integralen van beide functies hebben hetzelfde convergentiegedrag; het gedrag van 1/x zou je moeten kennen (of expliciet kunnen uitrekenen).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 8

Re: Convergentie nagaan integraal met ratiotest

Ok, erg bedankt! De oefening is erg duidelijk nu. 

 
TD schreef: Om een 'goede functie' te vinden om mee te vergelijken, moet je je afvragen hoe de gegeven functie zich gedraagt 'voor grote x'. Je bent immers op zoek naar een andere, eenvoudigere functie waarvan je het convergentiegedrag kent, maar die wel 'lijkt' op de te onderzoeken functie.
 
Voor grote x gedraagt de teller x²-1 zich als x², je kan de constante term verwaarlozen; de noemer als sqrt(x^6) = x³; het quotiënt dus als x²/x³ = 1/x. Bereken de limiet van de ratiotest met 1/x en je zal 1 vinden, dus de oneigenlijke integralen van beide functies hebben hetzelfde convergentiegedrag; het gedrag van 1/x zou je moeten kennen (of expliciet kunnen uitrekenen).

Gebruikersavatar
Berichten: 24.484

Re: Convergentie nagaan integraal met ratiotest

Oké, graag gedaan!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer