functie

Moderators: dirkwb, Xilvo

Gebruikersavatar
Berichten: 2.680

functie

Wat is de analytische oplossing van de rotatiehoek θ van de functie f(x)=sin(x)/x, waarbij de grafiek nog als functie kan worden aangemerkt.
Volgens mij is dat het geval als er slechts 1 verticale raaklijn is.

Berichten: 559

Re: functie

Ik persoonlijk heb geen idee wat je met je vraag bedoelt.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.680

Re: functie

vertical line test.png
vertical line test.png (42.21 KiB) 1093 keer bekeken
Door rotatie van een functie f(x) om de oorsprong kan de situatie optreden dat er voor een waarde van x meerdere functiewaarden bestaan. Dit levert dus wel een grafiek op maar is geen functie! (vertical line test bovenste plaatje)
Ik vermoed dat de grens van wel een functie/geen functie ligt bij precies 1 verticale raaklijn.
De rotatieformule voor een functie f(x) in een x-y assenstelsel is:
rotatieformule.png
rotatieformule.png (2.78 KiB) 1093 keer bekeken
θ is de rotatiehoek

Gebruikersavatar
Berichten: 3.257

Re: functie

Lijkt me niet als ik je goed begrijp.

Zie: \(y=x^2\)

Gebruikersavatar
Berichten: 2.680

Re: functie

y=x2 is een functie (vertical line test)
y=x2 is een niet 1 op 1 functie (horizontal line test)
Er is wel een inverse van y=x2 , maar dit is dus geen functie!
inverse.png
inverse.png (22 KiB) 903 keer bekeken

Gebruikersavatar
Berichten: 3.257

Re: functie

Je komt nu met een nieuwe eis volgen mij.

PS.
y=x2 heeft geen inverse.

PS.
Men kan de functie natuurlijk wel reduceren dan is er wel een inverse.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.680

Re: functie

Het gaat erom of de grafiek van de functie sin(x)/x na een bepaalde rotatie om de oorsprong nog wel een functie is.(do the vertical line test)
rotatieformule:
rotatieformule.png
rotatieformule.png (3.97 KiB) 896 keer bekeken
functie of niet.png
op basis van een Mapleplot schat in dat een rotatie > 67° geen functie meer oplevert (bij precies 1 verticale raaklijn)
De vraag blijft staan hoe deze kritische rotatiehoek analytisch kan worden bepaald!

Gebruikersavatar
Berichten: 3.257

Re: functie

Lastig.

Ik zou het zoeken in een rechte snijlijn.
Elke snijlijn bepaald een maximale draai hoek.

Berichten: 176

Re: functie

Alternatief:
Zoek de raaklijn aan f(x) = sin(x)/x met de maximale richtingscoëfficient.
Noem de richtingshoek van die raaklijn alpha.
Dan is je maximale rotatiehoek theta =
\(\theta = \frac{\pi}{2} - \alpha\)
Na rotatie over deze hoek theta staat die raaklijn precies verticaal (= parallel aan de y-as).
Ik kom zo uit op theta = 1.159492829676... rad = 66.434045516136...°

Gebruikersavatar
Berichten: 2.680

Re: functie

Slim gevonden zeg.. :)
Het inflection point van sin(x)/x ligt op x=-2,08 (voor het interval -4..0)
De afgeleide cos(x)/x-sin(x)/x2 heeft op dat punt de maximale richtingscoefficient tan(α)=0,43618, dus α=0,4113 rad. θmax=π/2-α=1,159 rad= 66,43°

Berichten: 717

Re: functie

ukster schreef:
do 30 jul 2020, 19:59
vertical line test.png
Door rotatie van een functie f(x) om de oorsprong kan de situatie optreden dat er voor een waarde van x meerdere functiewaarden bestaan. Dit levert dus wel een grafiek op maar is geen functie! (vertical line test bovenste plaatje)
Ik vermoed dat de grens van wel een functie/geen functie ligt bij precies 1 verticale raaklijn.
De rotatieformule voor een functie f(x) in een x-y assenstelsel is: rotatieformule.png
θ is de rotatiehoek
Vermoed je dit voor álle functies, of specifiek deze (sin(x))/x functie? Tegenvoorbeeld: Als je alleen sin(x) neemt, en deze 45graden roteert, dan heb je oneindig veel verticale afgeleiden, maar nog steeds een functie lijkt me.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.680

Re: functie

Voor alle functies.
Voor elke waarde van de onafhankelijke variabele van de 45° geroteerde sin(x) functie hoort nog steeds 1 functiewaarde.
rotatie van een functie.png
voor θ>45° kun je volgens de definitie van de vertical line test niet meer van een functie spreken.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.680

Re: functie

Ik zie echter niet hoe de laatste uitdrukking hieronder de 3 verschillende y- waarden bevat voor x=0
3 verschillende y waarden.png
3 verschillende y waarden.png (6.63 KiB) 722 keer bekeken

Gebruikersavatar
Berichten: 2.680

Re: functie

Mathematica gaat iets verder.
y waarden voor x=0.png
complex oplossing.png
complex oplossing.png (1.64 KiB) 709 keer bekeken

Gebruikersavatar
Berichten: 3.257

Re: functie

Vond Maple ze niet via evalf dat zou eigenlijk wel moeten.

Reageer