Wetenschapsforum

Hoi allen,

Sinds kort ben ik bezig met het opfrissen van mijn wiskundekennis, dus heb ik er sinds jaren (en jaren en jaren) weer een wiskundeboek bij gepakt. Nu ben ik bezig met de volgende vraag:

De vergelijking x^2 + px + 1 = 0 heeft één oplossing. Bereken p en de bijbehorende oplossing.

Nu is mijn probleem dat ik uit kom op twee grafieken (dus ook twee oplossingen), wat in tegenspraak lijkt met de opgave. In de bijlage mijn uitwerking.

Kan iemand mij wijzer maken? Alvast bedankt!

Volgens mij is jouw oplossing helemaal correct.

De vraag is wat verwarrend omdat het woord 'oplossing' op twee manieren kan worden gebruikt:

De oplossing van het vraagstuk is een waarde van p.
De oplossing van de vergelijking x^2 + px + 1 = 0 is een waarde van x.

Het vraagstuk wat je hebt opgelost heeft inderdaad twee oplossingen: p=2 en p=-2.

Maar voor beide waarden van p heeft de vergelijking x^2 + px + 1 = 0 exact één oplossing. Voor p=2 is x=-1 de unieke oplossing, en voor p=-2 is x=1 de unieke oplossing.

Gelukkig! Ik was even bang dat ik zelf iets over het hoofd zag. Ik heb al het uitwerkingenboek besteld, maar ik kon het in de tussentijd niet loslaten

Allebei bedankt voor het meekijken!

Er is iet naars met de vraagstelling.
Formeel is het zo dat als er twee verschillende oplossingen zijn de vergelijking er ook één heeft.

Het is verwant aan het probleem met de leugendetector die direct reageert met:
1. waar.
2. niet waar.

Iemand heeft vijftig losse euro's op zak.
Hij zegt nu ik heb één euro op zak.
De detector geeft nu dat hij de waarheid spreekt.
De meeste mensen zullen er nu ten onrechte uit concluderen dat hij precies één gulden op zak heeft.

--------------------------
Natuurlijk hebben de opstellers van het vraagstukje dat niet zo bedoeld, maar ja het is wel wiskunde dus.......

Algemeen geldt dat de vergelijking ax²+bx+c = 0 precies 1 oplossing heeft als b²-4ac = 0. We noemen de waarde b²-4ac de discriminant D. Voor D>0 zijn er 2 oplossingen, die gegeven worden door de abc-formule. Voor D<0 zijn er 0 oplossingen.
Een andere aanpak is dat je een kwadraat afsplitst, Er geldt namelijk dat x²+px+1 = x²+2⋅½px+¼p²+1-¼p²
= (x+½p)²+1-¼p².
Uit x²+px+1 = 0 volgt dan dat (x+½p)²+1-¼p²= 0, ofwel (x+½p)² = ¼p²-1. Wil deze vergelijking 1 oplossing hebben, dan moet ¼p²-1 gelijk aan nul zijn, dus x = -½p is dan de oplossing. Uit ¼p²-1 = 0 volgt: ¼p² = 1, dus p² = 4,
dus p = 2 en x =-1 of p = -2 en x = 1.

tempelier schreef: ↑do 26 nov 2020, 15:13 Er is iet naars met de vraagstelling.
Formeel is het zo dat als er twee verschillende oplossingen zijn de vergelijking er ook één heeft.

Dat is waar. Maar taal is niet zo eenduidig als wiskunde, dan zouden we in veel gevallen geen wiskunde nodig hebben.
De betekenis van een zin hangt van de context af, "Ik zag het meisje met de verrekijker" kan ook meerdere betekenissen hebben. Welke bedoeld wordt, wordt pas duidelijk door het verhaal er omheen.

Als voor een tweedegraads vergelijking, die twee, één of geen reële oplossingen heeft wordt gezegd dat de vergelijking één oplossing heeft dan wordt onmiskenbaar bedoeld dat er maar één oplossing is.

Xilvo schreef: ↑do 26 nov 2020, 21:55 Als voor een tweedegraads vergelijking, die twee, één of geen reële oplossingen heeft wordt gezegd dat de vergelijking één oplossing heeft dan wordt onmiskenbaar bedoeld dat er maar één oplossing is.

Maar daar ging het niet over. Het ging over hoeveel oplossingen de vraag heeft (en niet om hoeveel oplossingen de gegeven vergelijking heeft). De vraag zegt alleen maar "bereken p" en dat zou men kunnen opvatten als "bereken de enige p", wat dus niet de juiste interpretatie is.

Math-E-Mad-X schreef: ↑vr 27 nov 2020, 08:56 Maar daar ging het niet over.

Ik heb het over de eerste keer dat het woord "oplossing" wordt gebruikt, de oplossing van de polynoom.
Dat de tweede keer over "de oplossing" wordt gesproken, de waarde voor p, is inderdaad niet juist.

Math-E-Mad-X schreef: ↑vr 27 nov 2020, 08:56 De vraag zegt alleen maar "bereken p"

Dan heb je niet goed gelezen. Er staat "Bereken p en de bijbehorende oplossing." Er worden dus 2 dingen gevraagd: de waarde(n) van p waarvoor de vergelijking 1 oplossing heeft, en de bij die waarde(n) van p behorende oplossing van de vergelijking.