Dimensie?

Moderators: Xilvo, dirkwb

Berichten: 460

Dimensie?

Een plat vlak is zonder twijfel tweedimensionaal.
Maar wat is de dimensie van het oppervlak van een ellipsoïde? 2D of 3D?
Het ruimtelijk lichaam van de ellipsoïde is ongetwijfeld 3D.

Berichten: 674

Re: Dimensie?

Wel, neem de embedding in R3,

https://nl.wikipedia.org/wiki/Ellipso%C3%AFde

dan zie je drie coordinaten {x,y,z} die aan 1 restrictie voldoen. Je krijgt zo een (3-1=2) dimensionaal oppervlak.

Gebruikersavatar
Berichten: 3.742

Re: Dimensie?

Het is een tweedimensionaal vlak.
Alle vlakken zijn trouwens 2-dimensinaal.

2-dim betekent dat er in een regulier punt 2 onafhankelijke richtingen zijn.

Berichten: 460

Re: Dimensie?

Er is 3D nodig om de kromming van een vlak te realiseren. Zo'n vlak heeft lokaal kromming, torsie en een afstand tot een gegeven punt. Ik meen, dat elk krom vlak driedimensionaal is, ongeacht de feitelijke vorm.

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 5.286

Re: Dimensie?

efdee schreef: za 27 feb 2021, 19:20 Er is 3D nodig om de kromming van een vlak te realiseren.
Niet noodzakelijk. Onze ruimtetijd is ook gekromd zonder dat daar een extra dimensie voor nodig is.
efdee schreef: za 27 feb 2021, 19:20 Zo'n vlak heeft lokaal kromming, torsie en een afstand tot een gegeven punt.
Een punt op dat vlak of erbuiten? In het laatste geval werk je natuurlijk wel in drie dimensies.

Gebruikersavatar
Berichten: 3.742

Re: Dimensie?

efdee schreef: za 27 feb 2021, 19:20 Er is 3D nodig om de kromming van een vlak te realiseren. Zo'n vlak heeft lokaal kromming, torsie en een afstand tot een gegeven punt. Ik meen, dat elk krom vlak driedimensionaal is, ongeacht de feitelijke vorm.
Inbedden in een hogere is niet niet nodig.
Men doet dat vaak met vlakken om er een beter voorstelling van te krijgen.

Loopt trouwens gelijk spaak bij een gekromde 3-dim ruimte want niemand heeft een echt voorstellingsvermogen van een 4-dim ruimte, Die moet dan weer worden ingebed in een 5-dim ruimte enz.

Bij een 1-dim ruimte (een lijn) is het wat duidelijker.
Men kan een lijn omschrijven door de kromming uit te drukken in de lengte.

Berichten: 674

Re: Dimensie?

efdee schreef: za 27 feb 2021, 19:20 Er is 3D nodig om de kromming van een vlak te realiseren. Zo'n vlak heeft lokaal kromming, torsie en een afstand tot een gegeven punt. Ik meen, dat elk krom vlak driedimensionaal is, ongeacht de feitelijke vorm.
Nee. Kromming is intrinsiek gedefinieerd middels de Riemann tensor, door vectoren parallel langs een infinitesimale lus te transporteren.

Berichten: 674

Re: Dimensie?

tempelier schreef: zo 28 feb 2021, 08:50
efdee schreef: za 27 feb 2021, 19:20 Er is 3D nodig om de kromming van een vlak te realiseren. Zo'n vlak heeft lokaal kromming, torsie en een afstand tot een gegeven punt. Ik meen, dat elk krom vlak driedimensionaal is, ongeacht de feitelijke vorm.
Inbedden in een hogere is niet niet nodig.
Men doet dat vaak met vlakken om er een beter voorstelling van te krijgen.

Loopt trouwens gelijk spaak bij een gekromde 3-dim ruimte want niemand heeft een echt voorstellingsvermogen van een 4-dim ruimte, Die moet dan weer worden ingebed in een 5-dim ruimte enz.

Bij een 1-dim ruimte (een lijn) is het wat duidelijker.
Men kan een lijn omschrijven door de kromming uit te drukken in de lengte.
De intrinsieke kromming van een eendimensionale variëteit is nul; schrijf de Riemann tensor maar es op in dat geval ;)

Gebruikersavatar
Berichten: 3.742

Re: Dimensie?

flappelap schreef: zo 28 feb 2021, 09:44
tempelier schreef: zo 28 feb 2021, 08:50
efdee schreef: za 27 feb 2021, 19:20 Er is 3D nodig om de kromming van een vlak te realiseren. Zo'n vlak heeft lokaal kromming, torsie en een afstand tot een gegeven punt. Ik meen, dat elk krom vlak driedimensionaal is, ongeacht de feitelijke vorm.
Inbedden in een hogere is niet niet nodig.
Men doet dat vaak met vlakken om er een beter voorstelling van te krijgen.

Loopt trouwens gelijk spaak bij een gekromde 3-dim ruimte want niemand heeft een echt voorstellingsvermogen van een 4-dim ruimte, Die moet dan weer worden ingebed in een 5-dim ruimte enz.

Bij een 1-dim ruimte (een lijn) is het wat duidelijker.
Men kan een lijn omschrijven door de kromming uit te drukken in de lengte.
De intrinsieke kromming van een eendimensionale variëteit is nul; schrijf de Riemann tensor maar es op in dat geval ;)
Beschouw de clothoïde de kromming is gelijk aan de lengte.
Daarom wordt hij vaak in de wegenbouw toegepast.

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 5.286

Re: Dimensie?

tempelier schreef: zo 28 feb 2021, 10:04 Beschouw de clothoïde de kromming is gelijk aan de lengte.
Daarom wordt hij vaak in de wegenbouw toegepast.
Maar dat is een kromming in een hogere dimensie. Geen intrinsieke kromming, zoals flappelap schreef.

Gebruikersavatar
Berichten: 3.742

Re: Dimensie?

Xilvo schreef: zo 28 feb 2021, 10:08
tempelier schreef: zo 28 feb 2021, 10:04 Beschouw de clothoïde de kromming is gelijk aan de lengte.
Daarom wordt hij vaak in de wegenbouw toegepast.
Maar dat is een kromming in een hogere dimensie. Geen intrinsieke kromming, zoals flappelap schreef.
Waarom?
Die hoger dimensie hoeft niet te bestaan.

Volgens de idee van flapelap is dus kromming onmogelijk als er niet kan worden ingebed dat is echter niet zo.

De kromming op een: cirkel , bol of gloom zou dan ook nul zijn zonder inbeddening.

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 5.286

Re: Dimensie?

tempelier schreef: zo 28 feb 2021, 10:40 Volgens de idee van flapelap is dus kromming onmogelijk als er niet kan worden ingebed dat is echter niet zo.
Intrinsieke kromming is mogelijk in een vlak, in een 3-dimensionale ruimte etc. Niet in een lijn.
Of je zou kunnen zeggen dat die nooit te bepalen is, dus is het zinloos erover te spreken.
tempelier schreef: zo 28 feb 2021, 10:40 De kromming op een: cirkel , bol of gloom zou dan ook nul zijn zonder inbeddening.
Een cirkel niet, een bol of gloom heeft wel een kromming.

Berichten: 460

Re: Dimensie?

Een cirkel heeft wel kromming, een constante; maat geen torsie.
Ruimtetijd is iets anders dan vier ruimtedimensies. Hier worden veel denkfouten gemaakt inzake modellen van het heelal.
Wat is een mathematische gloom?

Berichten: 674

Re: Dimensie?

tempelier schreef: zo 28 feb 2021, 10:40
Xilvo schreef: zo 28 feb 2021, 10:08
tempelier schreef: zo 28 feb 2021, 10:04 Beschouw de clothoïde de kromming is gelijk aan de lengte.
Daarom wordt hij vaak in de wegenbouw toegepast.
Maar dat is een kromming in een hogere dimensie. Geen intrinsieke kromming, zoals flappelap schreef.
Waarom?
Die hoger dimensie hoeft niet te bestaan.

Volgens de idee van flapelap is dus kromming onmogelijk als er niet kan worden ingebed dat is echter niet zo.
Nee, dat zeg ik niet. Ik zeg dat de intrinsieke kromming op een eendimensionale variëteit nul is. Vectoren veranderen immers niet van oriëntatie als je ze parallel transporteert over een "lus". Tevens volgt het uit de (anti)symmetrieën van de Riemann tensor.

Als jij een andere betekenis aan het begrip "intrinsieke kromming" wilt meegeven, dan wijk je af van de standaard notie ervan.

Berichten: 674

Re: Dimensie?

efdee schreef: ma 01 mar 2021, 00:00 Een cirkel heeft wel kromming, een constante.
Maar geen intrinsieke kromming. Dat de topologie niet die van een lijnstuk is, introduceert niet plotseling intrinsieke kromming.

Reageer