[wiskunde] Snijpunten vinden tussen parametervergelijkingen

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 180

[wiskunde] Snijpunten vinden tussen parametervergelijkingen

Dag allemaal

Ik kom maar niet het juiste antwoord uit bij de volgende oefening.

Gegeven: Een cirkel met relatie F(x,y) = (x-1)² + (y+2)² = 4 en een ellips met relatie F(x,y) = 0,25x² + y² = 1
Gevraagd: Parametervergelijkingen voor de cirkel en voor de ellips? Wat zijn de snijpunten?
Oplossing:

Gebruikmakend van de hoofdformule van trigoniometrie heb ik de parametervergelijkingen kunnen achterhalen.

Voor cirkel: x(t) = +-2*cos(t) + 1 ; y(t) = +-2sin(t) - 2 ( Ik noem ze nu even x1 en y1)
Voor ellips: x(t) = +- 2*cos(t) ; y(t) = +- sin(t) ( ik noem ze nu even x2 en y2)

De snijpunten bepalen zou ik doen door te stellen dat ter hoogte van die snijpunten de x en y coördinaat hetzelfde is.

x1 = x2
y1= y2

En dan vervolgens omvormen naar t= ... maar ik geraak er dus niet.

Allereerst, kies ik een plus of minvorm van x(t) en y(t) of een combinatie van beide vormen?

Als ik kies van allemaal plusvormen dan:

2cos(t) + 1 = 2cos(t) ===> 1 = 0 ? (Geen oplossing)

2sin(t) - 2 = sin(t) ==> t = arcsin(2) (Geen oplossing want 2 zit niet in het domein van arcsin.

Combinatie van de beide vormen:

2cos(t) + 1 = -2cos(t) ==> 4cos(t) = -1 ==> t = arccos(-1/4) = 1.823 rad

2sin(t) - 2 = -sin(t) => t = arcsin(2/3) = 0.7297 rad

Op zich oke want er zijn twee snijpunten, maar dit zijn niet de snijpunten. De x en y waarden die ik met deze t-waarden bereken komen niet overeen met de antwoorden uit mijn cursus.



Hoe kan ik verder?


Groetjes

Valerion

Gebruikersavatar
Berichten: 3.753

Re: [wiskunde] Snijpunten vinden tussen parametervergelijkingen

Je kunt die arcsin (2/3) toch gewoon uitrekenen?

Gebruikersavatar
Berichten: 180

Re: [wiskunde] Snijpunten vinden tussen parametervergelijkingen

Ja dat klopt maar het is niet de juiste t waarde blijkbaar. Want als ik deze t waarde gebruik om x en y te berekenen dan kom ik niet het juiste antwoord uit.

Gebruikersavatar
Berichten: 3.753

Re: [wiskunde] Snijpunten vinden tussen parametervergelijkingen

Ik had slechts naar het eind gekeken.
----------------------
Bedenk dat er twee parameter voorstellingen zijn met:

De een t1 en de andere t2

Gebruikersavatar
Berichten: 180

Re: [wiskunde] Snijpunten vinden tussen parametervergelijkingen

Bedoel je dan dat ik het mag schrijven als 2*cos(t1) + 1 = 2cos(t2) en 2sin(t1) - 2 = sin(t2)

Gebruikersavatar
Berichten: 3.753

Re: [wiskunde] Snijpunten vinden tussen parametervergelijkingen

Ja je krijgt twee vergelijkingen met twee onbekenden.

Gebruikersavatar
Berichten: 180

Re: [wiskunde] Snijpunten vinden tussen parametervergelijkingen

Oke, ik heb het stelsel opgelost. Voor t1 kom ik uit: 1.079636188 en 2.58167. Nu kan ik de twee t2 waarden berekenen uit één van de twee vergelijkingen.

2*cos(1.079636188) + 1 = 2cos(t2)

2cos(t2) = 1.9432984

cos(t2) = 0.9716491998

t2 = arccos(0.971641998) = 0.2386871744

De andere t2 waarde is 1.925481338


Om x en y coordinaat van de twee snijpunten te berekenen moet ik volgens mij wel opletten. Want y < 0 steeds waardoor ik moet kiezen voor y = -sin(t2) en 2sint(t1)-2.

y1 = -sin(1.925481338) = -0.9377548622 en y2 = -sin(0.2386871744) = -0.2364272246

x1 = 1.9432984 en x2= -0.6945899997


Voor de parametervergelijking voor x(t) hoef ik geen rekening te houden met + of - omdat de waarde binnenin de haken het teken al in rekening zal brengen, toch? (Ik hoop dat ik het goed onder woorden breng)

Gebruikersavatar
Berichten: 3.753

Re: [wiskunde] Snijpunten vinden tussen parametervergelijkingen

Die plussen en minnen horen zelf weggelaten te worden.

Gebruikersavatar
Berichten: 180

Re: [wiskunde] Snijpunten vinden tussen parametervergelijkingen

Als ik gewoon sin(t2) gebruik om y2 te berekenen dan kan ik een positieve y2 uit. Terwijl ik een getekende grafiek weet dat y voor beide snijpunten negatief is.

Het negatieve teken lijkt mij daarom juist wel nodig.

Gebruikersavatar
Berichten: 180

Re: [wiskunde] Snijpunten vinden tussen parametervergelijkingen

Heb jij er trouwens ook een vierde graadsvergelijking van moeten maken om op te lossen naar t1 = of t2 = ?
Ik ben benieuwd of het eventueel korter en makkelijker kan, want deze vierdegraadvergelijking kan ik manueel niet zomaar oplossen.

Gebruikersavatar
Berichten: 3.753

Re: [wiskunde] Snijpunten vinden tussen parametervergelijkingen

Ik denk niet dat je dat kunt ontwijken.
De beginvergelijkingen geven ook een vierdegraadsvergelijking.

Dits soort vergelijkingen kan soms worden opgelost dor alle sin en cos aan een kant te zetten en de rest aan de andere.

Dan links en rechts kwadrateren dan kan som overgegaan worden op vormen zoals:

\(\sin\frac{x+y}{2}\)

die dan wel oplosbaar is.

Reageer