In eerdere posts had je het over een ventiel, dan geld Hagen-Poisseuille niet meer. Maar als je de twee drukvaten met een slangetje verbind zonder ventiel dan kan het wel, mist het Reynolds getal laag genoeg blijft voor laminaire stroming (dan heb je het over kleine drukverschillen...). Verder zijn er officieel nog inlet en outlet verliezen, dus verliezen doordat lucht het slangetje inloopt en doordat het 't slangetje uit loopt.
En als je echt heel precies bent, dan ontstaat er ook turbulentie t.g.v. zowel de wrijving en de jet die ontstaat aan het einde van het slangetje, wat ervoor zorgt dat de temperatuur iets verhoogd, maar dat kan je meestal wel negeren.
Het is waarschijnlijk handiger om deze versie van de gaswet te gebruiken:
\[
p = \rho R_s T
\]
Waarbij \(R_s\) de specifieke gasconstante is, deze is gelijk aan \(R_s = R / M\) met \(R\) de algemene gasconstante en \(M\) de molmassa (in kg per mol), welke je even voor jouw gas moet opzoeken.
Nu is het zo dat gas dat expandeert in het algemeen ook afkoelt. En gas dat comprimeert warmt op. Dus, als beide vaten met dezelfde temperatuur beginnen, dan koelt het gas met hoge temperatuur af en in het vat met lage temperatuur warmt het gas op. Dat betekent dat je ook na verloop van tijde koude lucht in een vat met warme lucht aan het pompen bent.
Dus, wil je het echt helemaal correct doen dan moet je in je berekening ook rekening houden met de verandering in temperatuur, dus berekenen hoeveel het gas afgekoeld is als het 't lage druk vat in komt, dan kijken wat voor temperatuur je over houd als je dat gas mengt met het gas dat er al is. Maar dat gas is ook aan het comprimeren, dus warmt weer op... etc. dan wordt het wat ingewikkeld... Het makkelijkste is om gewoon aan te nemen dat de temperatuur gelijk blijft (maar dan maak je wel een fout, hoe groot deze is hangt af van hoe groot het drukverschil is tussen de twee vaten).
Dus nu heb je de volgende formule:
\[
p_1(t) - p_2(t) = \frac{8 \pi \mu L}{A^2}Q(t)
\]
Waarbij ik expliciet heb aangegeven dat \(Q(t)\) en \(p_{1|2}(t)\) functies van de tijd zijn.
Maar nu heb je nog het volgende probleem. Hagen-Poiseuille is voor een constante dichtheid afgeleid, en de dichtheid verloopt van het hoge druk vat naar het lage druk vat.
Je kan ook een andere formule gebruiken, die ik toevallig in een
andere post heb gegeven:
\[
p_1(t)^2 - p_2(t)^2 = \frac{RT}{M} \left(\frac{w(t)}{A}\right)^2 \left( f\frac{L}{D} + 2 \ln \frac{p_1(t)}{p_2(t)}\right)
\]
Nu bereken je het drukverschil direct m.b.v. de massastroom \(w\). Het bijkomende voordeel is dat je dit ook voor turbulente stroming kan gebruiken. Daarvoor hoef je alleen \(f\) aan te passen. Deze komt uit het
Moody's diagram en is gelijk aan \(f = 64/Re\) voor laminaire stroming (afhankelijk van \(Re\), het Reynolds getal).
Maar je hebt nog een probleem. Het gas accelereert van rust, in het hoge druk vat, naar een bepaalde snelheid bij de ingang van het slangetje. Dat betekent, dat zodra de lucht bij de ingang van het slangetje is, de lucht al aardig is geaccelereerd, en, aldus Bernoulli, ook al aardig in druk is afgenomen. Dit is een sterk effect, ik denk dat verreweg het grootste deel van de drukval van het hoge druk vat naar het lage druk vat gebeurd nog voordat het 't slangetje in gaat.
In het slangetje accelereert het ook omdat de druk expandeert, maar dat zit in de formule hierboven (de \(2\ln\frac{p_1}{p_2}\) term).
Dus hoe neem je dit nu allemaal mee?
Je hebt 3 'nodes':
- Hoge druk, \(p_1\), (druk van het hoge druk vat), stilstaande stroming, \(v_1=0\)
- Lagere druk \(p_i\), geaccelereerd, \(v_i\), geëxpandeerd \(\rho_i\), ingang buisje
- Lage druk (druk van het lage druk vat), verder geaccelereerd t.g.v. de expansie, \(v_2\)
Deze zijn allemaal in balans. Op tijdstap \(t_n\) heb je:
\[
\frac{p_1}{\rho_1} = \frac{v_i^2}{2} + \frac{p_i}{\rho_i}
\\
p_i(t)^2 - p_2(t)^2 = \frac{RT}{M} \left(\frac{w(t)}{A}\right)^2 \left( f\frac{L}{D} + 2 \ln \frac{p_i(t)}{p_2(t)}\right)
\\
\frac{p_i}{\rho_i} = \frac{p_1}{\rho_1} = \frac{p_2}{\rho_2} = R_s T
\]
Dus de acceleratie naar \(v_i\) zorgt voor een bepaalde drukval. Dan blijft er een drukval over voor over het buisje. De 2e formule koppelt die drukval ook aan een snelheid \(v_i = w_i/\rho_i/A/\), maar die snelheden moeten natuurlijk aan elkaar gelijk zijn. Dat is de uitdaging.
Dan heb je op alle drie de nodes de staat bepaald. Deze neem je constant over een kleine tijdstap zodat je de massa kan uitrekenen die van het ene vat naar het andere vat is gegaan. Die massa zorgt voor een andere dichtheid, en dus via de gaswet voor een andere druk. En dan begint het weer van voor af aan.
Al met al dus een stuk ingewikkelder dan \(V = RI\)