Klopt dit?
Waarom is de boven gegeven definitie van een raakvector in een punt p aan de m-dimensionale variëteit
\( \mathcal{M} \) onafhankelijk van de gekozen kaartafbeelding φ? Laat φ
1 en φ
2 kaartafbeeldingen zijn die beide het punt p in hun domein hebben. Laat verder σ
1 en σ
2 twee volgens de kaartafbeelding φ
1 in p equivalente krommen zijn. Dan hebben we met u
i de functie die de i-de coördinaat geeft voor i = 1, 2, 3, ... , m dat:
\(\)
\( \left ( \frac{d(u^i \circ \varphi_1 \circ \sigma_1)}{dt} \right )_{t=0} \, = \, \left ( \frac{d(u^i \circ \varphi_1 \circ \sigma_2 )}{dt} \right )_{t=0} \)
\(\)
\( \left ( \frac{d( \varphi_1 \circ \sigma_1)}{dt} \right )_{t=0} \, = \, \left ( \frac{d( \varphi_1 \circ \sigma_2 )}{dt} \right )_{t=0} \)
\(\)
\( \left ( \mathcal{J}( \varphi_2 \circ \varphi^{-1}_1 ) \right )_{ \mathbf{x} = \varphi_1(p) } \cdot \left ( \frac{d( \varphi_1 \circ \sigma_1)}{dt} \right )_{t=0} \, = \, \left ( \mathcal{J}( \varphi_2 \circ \varphi^{-1}_1 ) \right )_{ \mathbf{x} = \varphi_1(p) } \cdot \left ( \frac{d( \varphi_1 \circ \sigma_2 )}{dt} \right )_{t=0} \)
\(\)
\( \left ( \frac{d( \varphi_2 \circ \varphi^{-1}_1 \circ \varphi_1 \circ \sigma_1)}{dt} \right )_{t=0} \, = \, \left ( \frac{d( \varphi_2 \circ \varphi^{-1}_1 \circ \varphi_1 \circ \sigma_2 )}{dt} \right )_{t=0} \)
\(\)
\( \left ( \frac{d( \varphi_2 \circ \sigma_1)}{dt} \right )_{t=0} \, = \, \left ( \frac{d( \varphi_2 \circ \sigma_2 )}{dt} \right )_{t=0} \)
\(\)
\( \left ( \frac{d(u^i \circ \varphi_2 \circ \sigma_1)}{dt} \right )_{t=0} \, = \, \left ( \frac{d(u^i \circ \varphi_2 \circ \sigma_2 )}{dt} \right )_{t=0} \)
\(\)
Dus dan zijn σ
1 en σ
2 ook volgens de kaartafbeelding φ
2 in p equivalente krommen aan
\( \mathcal{M} \) .