Manifolds, Groups, Bundles, and Spacetime

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Gebruikersavatar
Berichten: 7.463

Re: Manifolds, Groups, Bundles, and Spacetime


Klopt dit?


Waarom is de boven gegeven definitie van een raakvector in een punt p aan de m-dimensionale variëteit \( \mathcal{M} \) onafhankelijk van de gekozen kaartafbeelding φ? Laat φ1 en φ2 kaartafbeeldingen zijn die beide het punt p in hun domein hebben. Laat verder σ1 en σ2 twee volgens de kaartafbeelding φ1 in p equivalente krommen zijn. Dan hebben we met ui de functie die de i-de coördinaat geeft voor i = 1, 2, 3, ... , m dat:
\(\)
\( \left ( \frac{d(u^i \circ \varphi_1 \circ \sigma_1)}{dt} \right )_{t=0} \, = \, \left ( \frac{d(u^i \circ \varphi_1 \circ \sigma_2 )}{dt} \right )_{t=0} \)
\(\)
\( \left ( \frac{d( \varphi_1 \circ \sigma_1)}{dt} \right )_{t=0} \, = \, \left ( \frac{d( \varphi_1 \circ \sigma_2 )}{dt} \right )_{t=0} \)
\(\)
\( \left ( \mathcal{J}( \varphi_2 \circ \varphi^{-1}_1 ) \right )_{ \mathbf{x} = \varphi_1(p) } \cdot \left ( \frac{d( \varphi_1 \circ \sigma_1)}{dt} \right )_{t=0} \, = \, \left ( \mathcal{J}( \varphi_2 \circ \varphi^{-1}_1 ) \right )_{ \mathbf{x} = \varphi_1(p) } \cdot \left ( \frac{d( \varphi_1 \circ \sigma_2 )}{dt} \right )_{t=0} \)
\(\)
\( \left ( \frac{d( \varphi_2 \circ \varphi^{-1}_1 \circ \varphi_1 \circ \sigma_1)}{dt} \right )_{t=0} \, = \, \left ( \frac{d( \varphi_2 \circ \varphi^{-1}_1 \circ \varphi_1 \circ \sigma_2 )}{dt} \right )_{t=0} \)
\(\)
\( \left ( \frac{d( \varphi_2 \circ \sigma_1)}{dt} \right )_{t=0} \, = \, \left ( \frac{d( \varphi_2 \circ \sigma_2 )}{dt} \right )_{t=0} \)
\(\)
\( \left ( \frac{d(u^i \circ \varphi_2 \circ \sigma_1)}{dt} \right )_{t=0} \, = \, \left ( \frac{d(u^i \circ \varphi_2 \circ \sigma_2 )}{dt} \right )_{t=0} \)
\(\)
Dus dan zijn σ1 en σ2 ook volgens de kaartafbeelding φ2 in p equivalente krommen aan \( \mathcal{M} \) .

Gebruikersavatar
Berichten: 7.463

Re: Manifolds, Groups, Bundles, and Spacetime

234.jpg
Die oefening uit hetzelfde boek is ook nog wel even interessant.

Berichten: 1.223

Re: Manifolds, Groups, Bundles, and Spacetime

Professor Puntje schreef: ma 12 jul 2021, 20:26
Klopt dit?


Waarom is de boven gegeven definitie van een raakvector in een punt p aan de m-dimensionale variëteit \( \mathcal{M} \) onafhankelijk van de gekozen kaartafbeelding φ? Laat φ1 en φ2 kaartafbeeldingen zijn die beide het punt p in hun domein hebben. Laat verder σ1 en σ2 twee volgens de kaartafbeelding φ1 in p equivalente krommen zijn. Dan hebben we met ui de functie die de i-de coördinaat geeft voor i = 1, 2, 3, ... , m dat:
\(\)
\( \left ( \frac{d(u^i \circ \varphi_1 \circ \sigma_1)}{dt} \right )_{t=0} \, = \, \left ( \frac{d(u^i \circ \varphi_1 \circ \sigma_2 )}{dt} \right )_{t=0} \)
\(\)
\( \left ( \frac{d( \varphi_1 \circ \sigma_1)}{dt} \right )_{t=0} \, = \, \left ( \frac{d( \varphi_1 \circ \sigma_2 )}{dt} \right )_{t=0} \)
\(\)
\( \left ( \mathcal{J}( \varphi_2 \circ \varphi^{-1}_1 ) \right )_{ \mathbf{x} = \varphi_1(p) } \cdot \left ( \frac{d( \varphi_1 \circ \sigma_1)}{dt} \right )_{t=0} \, = \, \left ( \mathcal{J}( \varphi_2 \circ \varphi^{-1}_1 ) \right )_{ \mathbf{x} = \varphi_1(p) } \cdot \left ( \frac{d( \varphi_1 \circ \sigma_2 )}{dt} \right )_{t=0} \)
\(\)
\( \left ( \frac{d( \varphi_2 \circ \varphi^{-1}_1 \circ \varphi_1 \circ \sigma_1)}{dt} \right )_{t=0} \, = \, \left ( \frac{d( \varphi_2 \circ \varphi^{-1}_1 \circ \varphi_1 \circ \sigma_2 )}{dt} \right )_{t=0} \)
\(\)
\( \left ( \frac{d( \varphi_2 \circ \sigma_1)}{dt} \right )_{t=0} \, = \, \left ( \frac{d( \varphi_2 \circ \sigma_2 )}{dt} \right )_{t=0} \)
\(\)
\( \left ( \frac{d(u^i \circ \varphi_2 \circ \sigma_1)}{dt} \right )_{t=0} \, = \, \left ( \frac{d(u^i \circ \varphi_2 \circ \sigma_2 )}{dt} \right )_{t=0} \)
\(\)
Dus dan zijn σ1 en σ2 ook volgens de kaartafbeelding φ2 in p equivalente krommen aan \( \mathcal{M} \) .
Ik snap zo 123 niet exact wat hier allemaal gebeurt, maar dan zou ik ook weer heel nauwkeurig naar al die definities moeten kijken, en dat mag iemand anders doen :P

Gebruikersavatar
Berichten: 7.463

Re: Manifolds, Groups, Bundles, and Spacetime

OK - dank in elk geval zover. :)

Dan hoop ik maar dat er hier ook nog andere leden zijn die er verstand van hebben.

Gebruikersavatar
Berichten: 7.463

Re: Manifolds, Groups, Bundles, and Spacetime

Laat σ1 en σ2 equivalente krommen in de m-dimensionale differentieerbare variëteit \( \mathcal{M} \) zijn die door het punt p van \( \mathcal{M} \) lopen waarbij σ1(0) = σ2(0) = p. Dan weten we dat voor alle kaartafbeeldingen φ die het punt p in hun domein hebben voor i = 1 t/m m geldt dat:
\(\)
\( \left ( \frac{d(u^i \circ \varphi \circ \sigma_1)}{dt} \right )_{t=0} \, = \, \left ( \frac{d(u^i \circ \varphi \circ \sigma_2 )}{dt} \right )_{t=0} \)
\(\)
Verder hebben we de definitie:
\(\)
\( v(f) = \left ( \frac{d \, (f \circ \sigma)}{d t} \right )_{t=0} \,\,\,\, \mbox{met} \,\,\,\, \sigma \in v \)
\(\)
Deze definitie is voor dus voor iedere raakvector v onafhankelijk van de gekozen kromme σ uit de equivalentieklasse v indien de functie f van \( \mathcal{M} \) naar \( \mathbb{R}\) kan worden geschreven in de vorm:
\(\)
\( f = u^i \circ \varphi \)
\(\)
Waarbij ui de projectiefunctie is die voor punten in \( \mathbb{R}^m \) de i-de coördinaat oplevert en φ een kaartafbeelding is van een omgeving van p in \( \mathcal{M} \) naar \( \mathbb{R}^m \).

Rest de vraag welke functies f daaraan voldoen...

Gebruikersavatar
Berichten: 7.463

Re: Manifolds, Groups, Bundles, and Spacetime

Ik ben nu aan Ray D'Inverno's Introducing Einstein's Relativity begonnen.

Reageer