Allerlei tensor-vragen

[Professor Puntje]

Het is moeilijk. Je kunt definities wel tot op zekere hoogte motiveren maar uiteindelijk blijven het afspraken en dus keuzes. Ik heb bij de covariante afgeleide en ook bij de Lie-afgeleide bijvoorbeeld niet het soort van aha-erlebnis dat ik nog wel had toen ik alweer een eeuwigheid geleden na het nodige getob eindelijk de εδ-definitie van limieten begreep. Zou onze intuïtie wellicht niet langer toereikend zijn om zulke abstracte zaken uit de moderne differentiaalmeetkunde ook intuïtief goed te kunnen begrijpen? Of zijn er toch nog bollebozen die bij het lezen van de betreffende definities als van de covariante afgeleide en de Lie-afgeleide wel snel vatten waarom juist die definities een elegante, nuttige en efficiënte aanpak opleveren?

[wnvl1]

De Lie afgeleide geeft aan hoe "coherent" of "onafhankelijk" twee vectorvelden zijn ten opzichte van elkaar, lokaal. Het meet in hoeverre de gegenereerde stromen met elkaar commuteren, d.w.z. wat er gebeurt als je eerst beweegt langs een integraalkromme van het ene vectorveld en dan van het andere vectorveld of omgekeerd. De film van Eigenchris maakt dit heel goed duidelijk.

[flappelap]

Zal het document nog een paar keer moeten lezen om het helemaal te begrijpen tot in alle details.

In de inleiding staat:

"We applied (innitesimal) general coordinate transformations all the
time, but somehow I felt I (and they?) didn't truly understand what was going
on."

Ik vroeg mij af, die eik transformaties wat is daar nu het praktische nut van. Is dat om de Einsteinvergelijkingen op te lossen voor nieuwe gevallen op basis van bestaande oplossingen?

Nee, juist het tegenovergestelde: twee oplossingen die heel anders lijken maar verbonden zijn met een ijktransformatie (=alg.coord.transf), zijn fysisch hetzelfde. Je kunt dus geen nieuwe oplossingen genereren hiermee.

Ijktransformaties spelen in de natuurkunde een enorm belangrijke rol omdat ze ons dicteren hoe deeltjes en velden met elkaar wisselwerken. Het hoe en waarom is een heel stuk veldentheorie; google maar es op "Fierz-Pauli spin 2" als je dit in de context van de ART wilt zien.

[flappelap]

Mijn proefschrift ging over hoe je Newtons zwaartekrachtstheorie als ijktheorie kunt afleiden en uitbreiden, vandaar die nadruk

[flappelap]

Het is moeilijk. Je kunt definities wel tot op zekere hoogte motiveren maar uiteindelijk blijven het afspraken en dus keuzes. Ik heb bij de covariante afgeleide en ook bij de Lie-afgeleide bijvoorbeeld niet het soort van aha-erlebnis dat ik nog wel had toen ik alweer een eeuwigheid geleden na het nodige getob eindelijk de εδ-definitie van limieten begreep. Zou onze intuïtie wellicht niet langer toereikend zijn om zulke abstracte zaken uit de moderne differentiaalmeetkunde ook intuïtief goed te kunnen begrijpen? Of zijn er toch nog bollebozen die bij het lezen van de betreffende definities als van de covariante afgeleide en de Lie-afgeleide wel snel vatten waarom juist die definities een elegante, nuttige en efficiënte aanpak opleveren?

Een diffeomorfisme op een manifold geeft een natuurlijke afbeelding tussen de bijbehorende (duale) raakruimtes. Bij een Lie afgeleide neem je een tensor T(p) in een punt p. Vervolgens bekijk je ook T(q), waarbij p en q verbonden zijn middels een diffeomorfisme. Vervolgens gebruik je de inverse van deze diffeomorfisme om T(q) weer terug te trekken naar de raakruimte in p. En dit vergelijk je met T(p).

Zo vergelijk je 2 tensoren in 1 punt, en heb je geen connectie nodig. Het is de meest natuurlijke manier om te kijken hoe T functioneel verandert als je van p naar q gaat. Een normale functie f(x) verandert niet functioneel ('tensorieel'); je kunt f(x) alleen in verschillende punten uitrekenen. Bij een afgeleide df/dx vergelijk je daarom 2 f-waarden in naburige punten. Bij tensorvelden gaat dat niet eenduidig zonder connectie. De Lie afgeleide is zo de simpelste afgeleide die je kunt introduceren op een manifold.

[wnvl1]

Teksten over veldentheorieën kan ik maar heel moeilijk lezen. Nog wat te lastig. Meest verhelderende uitleg voor mij over gauge theorieën was de uitleg van Carroll in de youtube serie die hij tijdens de lockdown gemaakt heeft. De plek waar je die gauge transformatie meestal tegenkomt in beginnersboeken over ART is in de afleiding van de golfvergelijking voor gravitationele golven op basis van de gelineariseerde Einstein vergelijking. Dat is ook best al een lastige afleiding.

[Professor Puntje]

Een diffeomorfisme op een manifold geeft een natuurlijke afbeelding tussen de bijbehorende (duale) raakruimtes. Bij een Lie afgeleide neem je een tensor T(p) in een punt p. Vervolgens bekijk je ook T(q), waarbij p en q verbonden zijn middels een diffeomorfisme. Vervolgens gebruik je de inverse van deze diffeomorfisme om T(q) weer terug te trekken naar de raakruimte in p. En dit vergelijk je met T(p).

Zo vergelijk je 2 tensoren in 1 punt, en heb je geen connectie nodig. Het is de meest natuurlijke manier om te kijken hoe T functioneel verandert als je van p naar q gaat. Een normale functie f(x) verandert niet functioneel ('tensorieel'); je kunt f(x) alleen in verschillende punten uitrekenen. Bij een afgeleide df/dx vergelijk je daarom 2 f-waarden in naburige punten. Bij tensorvelden gaat dat niet eenduidig zonder connectie. De Lie afgeleide is zo de simpelste afgeleide die je kunt introduceren op een manifold.

Dat de Lie afgeleide in de aangegeven zin de simpelste aanpak is begrijp ik, maar dat het ook tot iets zinnigs leidt is daarmee nog niet gezegd. Dat kwartje is bij mij nog niet gevallen. Je kunt al doende natuurlijk wel ervaren dat de Lie afgeleide een nuttig begrip is, maar dat is nog iets anders dan intuïtief begrijpen wat je aan het doen bent en waarom dat werkt.

Is er wellicht een boek dat (ten behoeve van het onderwijs) specifiek ingaat op de motivatie van de in de moderne differentiaalmeetkunde gebruikte definities?

[flappelap]

Een diffeomorfisme op een manifold geeft een natuurlijke afbeelding tussen de bijbehorende (duale) raakruimtes. Bij een Lie afgeleide neem je een tensor T(p) in een punt p. Vervolgens bekijk je ook T(q), waarbij p en q verbonden zijn middels een diffeomorfisme. Vervolgens gebruik je de inverse van deze diffeomorfisme om T(q) weer terug te trekken naar de raakruimte in p. En dit vergelijk je met T(p).

Zo vergelijk je 2 tensoren in 1 punt, en heb je geen connectie nodig. Het is de meest natuurlijke manier om te kijken hoe T functioneel verandert als je van p naar q gaat. Een normale functie f(x) verandert niet functioneel ('tensorieel'); je kunt f(x) alleen in verschillende punten uitrekenen. Bij een afgeleide df/dx vergelijk je daarom 2 f-waarden in naburige punten. Bij tensorvelden gaat dat niet eenduidig zonder connectie. De Lie afgeleide is zo de simpelste afgeleide die je kunt introduceren op een manifold.

Dat de Lie afgeleide in de aangegeven zin de simpelste aanpak is begrijp ik, maar dat het ook tot iets zinnigs leidt is daarmee nog niet gezegd. Dat kwartje is bij mij nog niet gevallen. Je kunt al doende natuurlijk wel ervaren dat de Lie afgeleide een nuttig begrip is, maar dat is nog iets anders dan intuïtief begrijpen wat je aan het doen bent en waarom dat werkt.

Is er wellicht een boek dat (ten behoeve van het onderwijs) specifiek ingaat op de motivatie van de in de moderne differentiaalmeetkunde gebruikte definities?

Voor dat laatste: zou ik niet weten, ik denk dat je dan fora moet afstruinen. Ik mis de conceptuele motivatie bij wiskundeboeken ook wel es

De Lie-afgeleide is fysisch zinnig wanneer je het over isometrieën gaat hebben. Bij de Lie afgeleide van de metriek kijk je namelijk of de meetkunde in een bepaalde richting ook verandert als je verschuift, en dat geeft symmetrieën bloot.

[flappelap]

Teksten over veldentheorieën kan ik maar heel moeilijk lezen. Nog wat te lastig. Meest verhelderende uitleg voor mij over gauge theorieën was de uitleg van Carroll in de youtube serie die hij tijdens de lockdown gemaakt heeft. De plek waar je die gauge transformatie meestal tegenkomt in beginnersboeken over ART is in de afleiding van de golfvergelijking voor gravitationele golven op basis van de gelineariseerde Einstein vergelijking. Dat is ook best al een lastige afleiding.

Ja, en daar zie je dat een geschikte ijkkeuze je berekeningen oneindig veel makkelijker kunnen maken.

[Professor Puntje]

Wat is een r,s-tensor? Is dat een multilineaire afbeelding van V*^rxV^s naar R of van V*^sxV^r naar R? Telkens als ik het denk te weten lees ik het elders weer andersom...

[flappelap]

Is daar een eenduidige conventie voor? Geen idee.

[Professor Puntje]

Ik was daar wel vanuit gegaan, maar heb daar inmiddels grote twijfels over. Het zou wel zeer onhandig zijn als zoiets elementairs niet gestandaardiseerd is.

[wnvl1]

r,s-tensor is dat een multilineaire afbeelding van VrxV*s. Een vector is (1,0) een metriek (0,2).

[Professor Puntje]

Because of these subtleties I talked about ’coordinate values’ instead of ’points’
earlier on. The reason for this carefulness is the two ways we can interpret
coordinate transformations for tensors. And although these interpretations are
conceptually quite different, they turn out to be the same at the calculational
level. In the heating example, the first transformation was an active one: we
shifted the points actively. The second interpretation was a passive one: we
merely relabeled our coordinates. We also saw that there is a deep connection
between these two interpretations. This is what I’ll call the passive-active dual-
ity. To dive into that duality, we first repeat some basic differential geometry,
with the assumption that you have all seen this before; see e.g. Wald, Carroll
or Nakahara.

Bovenstaande komt uit de Notes van flappelap. Ik begrijp dat het voor de stationaire situatie niet uitmaakt of je de brander onder een oneindige metalen plaat verschuift of dat je het coördinatenstelsel op de plaat over dezelfde afstand in tegengestelde richting verschuift. Maar dat zie ik niet als een wiskundig feit, maar als een gevolg van het natuurkundige gegeven dat de natuurwetten overal hetzelfde zijn. Of is dat ook de bedoeling van dit citaat?

[Professor Puntje]

r,s-tensor is dat een multilineaire afbeelding van VrxV*s. Een vector is (1,0) een metriek (0,2).

Dit kwam ik op Google Books tegen: