raakpunt

[ukster]

Een cirkel met straal 1 rolt op de x-as in het eerste kwadrant naar de parabool met vergelijking y = x²
Hoe zou je de coördinaten van het contactpunt wanneer de cirkel de parabool raakt kunnen berekenen?

[ukster]

ik dacht aan: impliciet differentiëren naar x van (x-a)²+(y-1)²=1
en dan dy/dx gelijk stellen aan y'=2x ?

[Bart23]

Je zou kunnen eisen dat dat de 2 krommen snijden 1 een punt met multipliciteit>1.
Vorm om naar vgl in door y=x² te substitueren in vgl cirkel. Bereken de discriminant van deze 4degraadsvgl:

\(256a^6-1136a^4+32a^2=0\)

Los op. 1 waarde van a komt in aanmerking:

\(a = \frac{1}{4}\sqrt{\frac{71}{2} + \frac{17\sqrt{17}}{2}}=2.0998\)

Om de coördinaten te vinden: deze a invullen in de 4degraadsvgl en oplossen. Dit geeft 1 reële oplossing voor de x-coördinaat:

\(x = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}(7 + \sqrt{17})} - \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2} \left(-3 - \sqrt{17} + \sqrt{\frac{2 (142 + 34 \sqrt{17})}{7 + \sqrt{17}}}\right)}=1.1791\)

Voor de y hier het kwadraat van nemen:

\(y=\frac{1}{8}(7+\sqrt{17})=1.3903\)

Met dank aan Wolfram Alpha;-)

[Bart23]

Je kan ook de normaal in het punt (t,t²) aan de parabool nemen en snijden met een cirkel met straal 1 en middelpunt (t,t²). dan eisen dat de y gelijk aan 1 moet zijn. Geeft een voorwaard op t:
4t^4-7t²+2=0 (na schrappen van t²)
Dit geeft voor t een eenvoudigere vorm als boven:

\(t=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{7}{2}+\frac{\sqrt{17}}{2}}=1.1791\)

[ukster]

Dank voor je waardevolle en gewaardeerde inbreng
Ik heb m'n ideetje van gisteren verder uitgewerkt en ook dat blijkt te werken.

parcirc1.png (4 KiB) 980 keer bekeken

In het raakpunt hebben parabool en cirkel dezelfde raaklijnhelling dy/dx

parcirc2.png (5.12 KiB) 977 keer bekeken

parcirc3.png (14.21 KiB) 980 keer bekeken

voor dit probleem geldt de 3e oplossing!

[CoenCo]

Als je van een uitdaging houdt:
Alles transleren zodat midden cirkel op 0,0 ligt, en dan oplossen met poolcoordinaten