IJktransformaties en de deflectie van licht rond de zon

[wnvl1]

In Taylor & Wheeler Exploring Black Holes komen wel de nodige berekeningen en opgaven voor over wat een denkbeeldige ringbewoner zou waarnemen, maar of ons specifieke probleem daar ook behandeld wordt zou ik zo niet weten. Overigens moet het punt waar het licht een specifieke ring passeert wel te berekenen zijn met behulp van de exacte oplossing met de Jacobi elliptische functie. Dat kun je dan ook voor twee ringen doen die dicht bij elkaar liggen en zo krijg je een indruk van het "momentane" verloop van de afbuiging. Maar ik heb er geen zin meer in om daar nu weer in te duiken.

Het valt mij op dat het concept ruimtelijke hoek in de boeken over ART weinig aan bod komt.

[wnvl1]

Nee, dat kan ik me heel goed voorstellen en is ook helemaal niet de bedoeling van dit topic. Wat wel precies weet ik eigenlijk niet zeker.

Hebben lokale ruimtelijke hoekveranderingen op de baan van een foton een absolute betekenis. Of is dat iets relatiefs en kan je dat de waarde geven die je wil door te spelen met de combinatie van metriek en coördinatensysteem. Dat is wat ik wil weten.

[Gast]

Welke lokaal ruimtelijke hoekveranderingen? Je, bedoeld zoals in een uitleg van het equivalentieprincipe vaak afgebeeld wordt?
Ik heb daar in dat andere topic geprobeerd antwoord op te geven. Maar goed, ik ben geen "expert".

[flappelap]

Mijn vraag is nu. Blijft die ruimtelijke ogenblikkelijke hoekverandering invariant onder zo een ijktransformatie?

Waarschijnlijk niet. Kun je de uitdrukking voor deze hoekverandering geven? Daarop kun je vervolgens een algemene coord.transfo. loslaten. Het resultaat zal veranderen, maar de fysische interpretatie niet. Zie ook mijn notes omtrent b.v. de plaats van de horizon voor de Schwarzschild meetkunde.

[wnvl1]

Mijn vraag is nu. Blijft die ruimtelijke ogenblikkelijke hoekverandering invariant onder zo een ijktransformatie?

Waarschijnlijk niet. Kun je de uitdrukking voor deze hoekverandering geven? Daarop kun je vervolgens een algemene coord.transfo. loslaten. Het resultaat zal veranderen, maar de fysische interpretatie niet. Zie ook mijn notes omtrent b.v. de plaats van de horizon voor de Schwarzschild meetkunde.

De baan van het licht dat afbuigt door de zon ligt uiteraard vast, als je dat bedoelt met fysisch verandert er niets. Uiteraard ben ik daarmee akkoord. De ruimtelijke hoek tussen 2 4-vectoren op een bepaalde plek is bepaald door

$$\cos\theta = \frac{a^{i}b_{i}}{\sqrt{a^{i}a_{i}b^{i}b_{i}}}$$

Bij afbuiging van licht gaat het om telkens een infinitesimale hoekverandering over een infinitesimaal kleine afstand die dan geïntegreerd wordt over de baan. De tijdscomponent wordt weggelaten voor de berekening van de ruimtelijke hoek. De i loopt alleen maar over de ruimtelijke componenten. Allemaal duidelijk voor mij. De uitkomst is nu voor mij bepaald door het gekozen coördinatensysteem met bijhorende metriek. Deze waarde heeft geen fysische betekenis als je niet weet welk coördinatenstelsel + bijhorende metriek is gekozen. Net zoals de straal van de horizon in de tensor transformation trauma's notes geen betekenis heeft als je niet het coördinatenstelsel + bijhorende metriek kent in de hole. De baan van het licht in de 4-variëteit heeft wel een fysische betekenis.

Opmerkelijk is dat deze hoekverandering als je die integreert van -oneindig (verre ster) tot +oneindig (aarde laat ons zeggen) in geval van afbuiging rond de zon wel een absolute fysische betekenis krijgt. Die 1.75 arc sec lijkt betekenis te hebben zonder dat je je coördinatensysteem hoeft te specifiëren. Einstein zegt niet als addendum bij die 1.75 arcsec ik heb dit of dat coördinatensysteem gebruikt.

Ik ben aan het vermoeden dat Einstein alles beschouwt tot tov een vaste Minkowski achtergrond raakruimte die op min oneindig (verre ster) en plus oneindig (aarde) samenvalt. Tussenin wijkt dat natuurlijk af door de kromming die de zon veroorzaakt. In die vaste Minkowski achtergrond kan je dan wel vectoren doorschuiven van min oneindig naar plus oneindig (als je de zon even wegdenkt louter voor de verschuiving) en de hoekverandering bestuderen. Een beetje zoals je (1) in de SRT vectoren door kan schuiven om hoeken te vergelijken of (2) zoals bij de gelineariseerde Einsteinvergelijkingen bij de studie van gravitatiegolven ook alles beschouwd wordt tov een vaste Minkowski achtergrond. Desalniettemin blijf ik het verwonderlijk vinden dat die 1.75 arc sec klopt op de manier waarop hij het berekent (los van de wiskunde die ik van het eerste tot het laatste cijfer heb nagerekend en snap). Ik zou verwachten dat als je onderweg een ander coördinatensysteem kiest maar ervoor zorgt dat het op min en plus oneindig toch mooi aansluit dat je toch een andere uitkomst uitkomt afhankelijk van de keuze van het coördinatensysteem.

[Gast]

Maar die 1,75 arc sec zijn toch alleen tov een absolute ruimte (Euclidisch)? Dus welk juist gekozen coördinaten systeem je ook kiest voor Schwarzschild metriek (ik zou niet weten welke andere metriek hiervoor) je zult altijd op 1,75 arc sec uitkomen (tov een Euclidische ruimte).

Maar goed, misschien ben ik fout. Ben dan ook wel benieuwd wat Flappelap zegt.

[wnvl1]

Maar die 1,75 arc sec zijn toch alleen tov een absolute ruimte (Euclidisch)? Dus welk juist gekozen coördinaten systeem je ook kiest voor Schwarzschild metriek (ik zou niet weten welke andere metriek hiervoor) je zult altijd op 1,75 arc sec uitkomen (tov een Euclidische ruimte).

Maar goed, misschien ben ik fout. Ben dan ook wel benieuwd wat Flappelap zegt.

Schwarzschild metriek en Schwarzschild metriek is twee. Ik verwijs naar de discussie over het hole argument en de gauge transformaties.

Je kan de gekromde ruimte veroorzaakt door de zon op oneindige afstand dus bij de ster en bij de aarde wel vastprikken op een vaste Minkowski achtergrond. Ik kijk ernaar of je beiden op oneindige afstand met lijm aan elkaar plakt, maar bij de zon natuurlijk niet. Dat zou mij enige houvast kunnen geven om die 1.75 arcsec te interpreteren.

[Gast]

Ok. Ik weet niet zeker (daarvoor zou ik me eerst meer moeten verdiepen in gauge theorie/invariantie/symmetrie/transformatie .. etceterie. (Wat ik dan over een jaar weer deels vergeten ben)), maar ik denk dat je het moeilijker maakt dan het is. En dat een gauge transformatie hier niet echt op zijn plaats is.

Maar hoe bedoel je "Schwarzschild metriek en Schwarzschild metriek is twee"?

[Gast]

Maar hoe bedoel je "Schwarzschild metriek en Schwarzschild metriek is twee"?

Voor in het gat en erbuiten neem ik aan (en toch andere coördinaten gebruiken?).

Maar is dit hole argument niet meer voor historische interesse voor natuurkundigen en wetenschapsfilosofen om deze schijnbare paradox te begrijpen? En tegenwoordig enkel voor filosofen?

Ik vraag (me) een beetje teveel (af) geloof ik ipv me er eerst goed in te verdiepen. Excuses moi.

[wnvl1]

Ok. Ik weet niet zeker (daarvoor zou ik me eerst meer moeten verdiepen in gauge theorie/invariantie/symmetrie/transformatie .. etceterie. (Wat ik dan over een jaar weer deels vergeten ben)), maar ik denk dat je het moeilijker maakt dan het is. En dat een gauge transformatie hier niet echt op zijn plaats is.

Maar hoe bedoel je "Schwarzschild metriek en Schwarzschild metriek is twee"?

'Gaugevrijheid' betekent dat twee of meer verschillende wiskundige structuren dezelfde fysische werkelijkheid beschrijven. In de klassieke mechanica kan je wanneer je de wet van behoud van energie wil toepassen ervoor kiezen om h=0 te kiezen ter hoogte van de grond, of ter hoogte van het dak van een gebouw. Dit leidt allemaal tot dezelfde fysische oplossingen.

In de ART vertaalt gaugevrijgheid zich in het feit dat we metrische velden op vele manieren over een variëteit kunnen spreiden. De metriek hangt tesamen met de coördinaten transformatie. Een voorbeeld voor de Schwarzschild metriek vind je terug in Tensor traumas van Flappelap. Verschillende spreiding zorgen voor dezelfde intrinsieke eigenschappen. Deze eigenschappen zijn invariant. De ruimtelijke hoekverandering is volgens mij NIET zo een intrinsieke eigenschap. Deze is dus afhankelijk van de keuze van het coördinatenstelsel. Toch wordt die 1.75 arc sec behandeld alsof ze absoluut is.

Mijn vraag is, wat is er achterliggend verzwegen? Is er achterliggend een bepaald assenstelsel opgedrongen zonder dat te expliciteren? Als ik andere keuzes maak, kan ik dan niet een andere hoek uitkomen?

[Gast]

Ok.

Dit * heeft me snel wat verder geholpen. Ook note 1, en wat links daar weer.

Om hier nu helemaal de details van te bestuderen, uhm ik denk dusver niet dat dat voor mij de moeite waard is, omdat het 1) filosofisch is of iig onder wetenschapsfilosofie valt en 2) ik geen rustige job heb op een octrooibureau in Bern .

* https://plato.stanford.edu/entries/spacetime-holearg/

Ik vermoed niet dat er (veel) nieuws voor jou staat, maar voor mij .. ik had nog nooit gehoord van dat Hole Argument. En de link is volgens mij wel een goede voor geïnteresseerden die er ook niet eerder van gehoord hebben.

Maar goed, dan lees ik:

"All three projections agree in their invariant properties; that is, they agree in real spatial distances measured."

Uit het document over Leibniz Equivalence.

En "These invariant properties are, loosely speaking, the ones that are intrinsic to the geometry and dynamics, such as distance along spatial curves and time along worldlines of galaxies, the rest mass of the galaxy, the number of particles in it, as well as a host of other properties, such as whether the spacetimes are metrically flat or curved."

En vooral "The spatial distance between two points, however, is that same no matter coordinate system is used to describe the space. It is an invariant."

En daarmee geldt dan toch ook invariantie voor jouw ruimtelijke hoekveranderingen?

Maar sowieso is "The Hole" lokaal, waardoor de 1,75 arc sec gelijk blijft. Vandaar dat je vraagt/vroeg over mogelijke invariantie in de lokale "plotselinge hoekveranderingen", right?

(Voor een eventueel bestaand "active general covariance".)

Maar .. misschien begrijp ik het ook wel compleet verkeerd allemaal. Nogmaals het is nieuw voor mij en ben eerst maar benieuwd naar Flappelap's antwoord op jouw vragen.

[wnvl1]

Het issue lijkt mij meer dan alleen maar wetenschapsfilosofie.

"All three projections agree in their invariant properties; that is, they agree in real spatial distances measured."

Ze bedoelen hier wel dat je de metriek kan integreren over de wereldlijn. Het gaat dan over de eigentijd. Die is invariant als je integreert over een specifiek pad. Als je die wereldlijn laat lopen over de ruimte dan integreer je 'afstanden' over de ruimte. Maar dat lost het probleem niet op. Wat tijd is en wat ruimte is, is ook afhankelijk van je coördinatenkeuze (foliatie). Net zoals de hoeken tussen de ruimtelijke componenten. Probleem blijft dus behouden.