Raadsel over cirkelstralen

[ukster]

In cirkel 1 met straal r raken twee ingeschreven cirkels 2 en 3 elkaar extern en cirkel 1 intern
Cirkel 4 raakt cirkel 2 en cirkel 3 extern en cirkel 1 intern
Cirkel 5 raakt cirkel 4 en cirkel 3 extern en cirkel 1 intern
Bepaal de straal van cirkel 4 en cirkel 5

[ukster]

inderdaad een raadsel wat er met de tekst bedoeld wordt. .

Het gaat om dit plaatje..

cirkels.png (16.58 KiB) 2519 keer bekeken

[ukster]

Zo op het 1^e gezicht vormt O1O4O5O3 een rechthoek, maar daar mag niet van worden uitgegaan.
Het bewijs zal geleverd moeten worden met als uitgangspunt: N en M zijn de projectie van O5 op y-as en x-as

Bewijs.png (2.18 KiB) 2503 keer bekeken

[Rik Speybrouck]

dit zou het ongeveer moeten. Ik heb uw tekening afgedrukt waarbij ik voor de grote cirkel een straal 4 kreeg. De berekeningen zijn dan ook hierop uitgewerkt.

[ukster]

Heb je het gewoon opgemeten..of heb je het wiskundig bewijs hiervoor.

[Rik Speybrouck]

Heb je het gewoon opgemeten..of heb je het wiskundig bewijs hiervoor.

Op basis van een formule de uitwerking is echter een draak van liefst drie bladzijden.

[ukster]

Komt in je uitwerking (bewijs) naast Pythagoras ook Heron's formule voor?

[Rik Speybrouck]

Komt in je uitwerking (bewijs) naast Pythagoras ook Heron's formule voor?

het is niet mijn uitwerking hoor, komt uit een dossiertje dat ik al enige tijd heb liggen en nu komt het van pas. Met de formule kan je de straal van de grote cirkel berekenen (in ons geval gekend) en aangezien je straal van de twee andere cirkels kent is een afleiding mogelijk. Daarna opnieuw herhalen voor de kleinste cirkel. Kan het eenvoudiger ik zou het echt niet weten.

[ukster]

Het kan eenvoudiger!

cirkels.png (24.55 KiB) 2382 keer bekeken

x bepalen (=straal cirkel4)
O1O3 = r/2
O1O4 = r-x
O3O4 = r/2+x

•Pythagoras:
(O3O4)²=(O1O3)²+(O1O4)²
(r/2+x)²=(r/2)²+(r-x)²
x=r/3

cirkels1.png (9.18 KiB) 2382 keer bekeken

y Bepalen (=straal cirkel5)
O1O3=r/2
O3O5=r/2+y
O4O5=r/3+y
O1O4=r-r/3
O1O5=r-y

•Pythagoras:
(O1O5)²-(O1M)²=(O5M)²
(O1O5)²-(O1M)²=(O3O5)²-(O3M)²
(O1O5)²-(O1M)²=(O3O5)²-(O1O3-O1M)²
(r-y)²-(O1M)²=(r/2+y)²-(r/2-O1M)²
O1M = r-3y

•Hérons Formule toegepast op driehoek O1O4O5
Oppervlakte =√(s(s-O1O4)(s-O4O5)(s-O1O5))
s=(O1O4+O4O5+O1O5)/2
s=((r-r/3)+(r/3+y)+(r-y))/2=r
s=r
O5N=2*Oppervlakte/O1O4

O5N=2*√(s(s-O1O4)(s-O4O5)(s-O1O5))/O1O4
O5N=2*√(s(s-O1O4)(s-O4O5)(s-O1O5))/O1O4
O5N=√(r(r-(r-r/3)).(r-(r/3+y).(r-(r-y))
O5N=√(y(2r-3y))
O1M=O5N=√(y(2r-3y))

(O1M)²=( r-3y)² = y(2r-3y)
r²-6ry+9y²=2yr-3y²
12y²-8ry+r²=0
(6y-r)(2y-r)=0
y=r/2 of y=r/6
echter: y<r/2 , dus y=r/6

[RedCat]

Alternatief (nog eenvoudiger?):
Via de stelling van Descartes:
https://nl.wikipedia.org/wiki/Stelling_van_Descartes
(schaal naar r₁ = 1, dat scheelt administratie)

\(r_4:\)

\((-1+2+2+k_4)^2 = 2(1+4+4+k_4^2)\)

\(k_4^2-6k_4+9=0\)

\(k_4 = 3\)

\(r_4 = \frac{1}{3}\)

(in feite is dit een dubbele oplossing: cirkel 4 en zijn in de x-as gespiegelde)

en

\(r_5:\)

\((-1+2+3+k_5)^2 = 2(1+4+9+k_5^2)\)

\(k_5^2-8k_5+12=0\)

\(k_5 = 2 \;\vee\; k_5 = 6\)

\(r_5 = \frac{1}{2} \;\vee\; r_5 = \frac{1}{6}\)

r5 = 1/2 is van cirkel 2
r5 = 1/6 is van cirkel 5

[Rik Speybrouck]

Even een andere wending

[RedCat]

En voor de voortzetting van de cirkels van ukster:

\(r_1 = 1\)

\(r_2 = r_3 = \frac{1}{2}\)

\(r_n = \frac{1}{n^2-6n+11} \;\;\; \text{voor}\; n\ge 4\)

[EvilBro]

[RedCat]

Leuke oplossing!

Maar het alternatief met de voortzetting van ukster is ook niet zo ingewikkeld:
de krommingen van elk drietal rakende cirkels zijn steeds:
cirkel 1: 2
cirkel n: n² - 6n + 11
cirkel (n+1): (n+1)² - 6(n+1) + 11 = n² - 4n + 6

Via de stelling van Descartes krijgen we nu voor de kromming van de blauwe cirkels in de film:
k = 4n² - 20n + 39

En als we de cirkelnummering van ukster aanhouden, dan levert dit met startpunt n=3 de gezochte rij:
15, 23, 39, 63, 95, 135, 183, 239, ...