Raadsel over cirkelstralen
Moderator: Rhiannon
- Berichten: 4.541
Raadsel over cirkelstralen
In cirkel 1 met straal r raken twee ingeschreven cirkels 2 en 3 elkaar extern en cirkel 1 intern
Cirkel 4 raakt cirkel 2 en cirkel 3 extern en cirkel 1 intern
Cirkel 5 raakt cirkel 4 en cirkel 3 extern en cirkel 1 intern
Bepaal de straal van cirkel 4 en cirkel 5
Cirkel 4 raakt cirkel 2 en cirkel 3 extern en cirkel 1 intern
Cirkel 5 raakt cirkel 4 en cirkel 3 extern en cirkel 1 intern
Bepaal de straal van cirkel 4 en cirkel 5
- Berichten: 4.541
Re: Raadsel over cirkelstralen
inderdaad een raadsel wat er met de tekst bedoeld wordt. .
Het gaat om dit plaatje..
Het gaat om dit plaatje..
- Berichten: 4.541
Re: Raadsel over cirkelstralen
Zo op het 1e gezicht vormt O1O4O5O3 een rechthoek, maar daar mag niet van worden uitgegaan.
Het bewijs zal geleverd moeten worden met als uitgangspunt: N en M zijn de projectie van O5 op y-as en x-as
Het bewijs zal geleverd moeten worden met als uitgangspunt: N en M zijn de projectie van O5 op y-as en x-as
- Berichten: 891
Re: Raadsel over cirkelstralen
dit zou het ongeveer moeten. Ik heb uw tekening afgedrukt waarbij ik voor de grote cirkel een straal 4 kreeg. De berekeningen zijn dan ook hierop uitgewerkt.
- Berichten: 4.541
Re: Raadsel over cirkelstralen
Heb je het gewoon opgemeten..of heb je het wiskundig bewijs hiervoor.
- Berichten: 891
- Berichten: 4.541
Re: Raadsel over cirkelstralen
Komt in je uitwerking (bewijs) naast Pythagoras ook Heron's formule voor?
- Berichten: 891
Re: Raadsel over cirkelstralen
het is niet mijn uitwerking hoor, komt uit een dossiertje dat ik al enige tijd heb liggen en nu komt het van pas. Met de formule kan je de straal van de grote cirkel berekenen (in ons geval gekend) en aangezien je straal van de twee andere cirkels kent is een afleiding mogelijk. Daarna opnieuw herhalen voor de kleinste cirkel. Kan het eenvoudiger ik zou het echt niet weten.
- Berichten: 4.541
Re: Raadsel over cirkelstralen
Het kan eenvoudiger!
O1O3 = r/2
O1O4 = r-x
O3O4 = r/2+x
•Pythagoras:
(O3O4)2=(O1O3)2+(O1O4)2
(r/2+x)2=(r/2)2+(r-x)2
x=r/3
y Bepalen (=straal cirkel5)
O1O3=r/2
O3O5=r/2+y
O4O5=r/3+y
O1O4=r-r/3
O1O5=r-y
•Pythagoras:
(O1O5)2-(O1M)2=(O5M)2
(O1O5)2-(O1M)2=(O3O5)2-(O3M)2
(O1O5)2-(O1M)2=(O3O5)2-(O1O3-O1M)2
(r-y)2-(O1M)2=(r/2+y)2-(r/2-O1M)2
O1M = r-3y
•Hérons Formule toegepast op driehoek O1O4O5
Oppervlakte =√(s(s-O1O4)(s-O4O5)(s-O1O5))
s=(O1O4+O4O5+O1O5)/2
s=((r-r/3)+(r/3+y)+(r-y))/2=r
s=r
O5N=2*Oppervlakte/O1O4
O5N=2*√(s(s-O1O4)(s-O4O5)(s-O1O5))/O1O4
O5N=2*√(s(s-O1O4)(s-O4O5)(s-O1O5))/O1O4
O5N=√(r(r-(r-r/3)).(r-(r/3+y).(r-(r-y))
O5N=√(y(2r-3y))
O1M=O5N=√(y(2r-3y))
(O1M)2=( r-3y)2 = y(2r-3y)
r2-6ry+9y2=2yr-3y2
12y2-8ry+r2=0
(6y-r)(2y-r)=0
y=r/2 of y=r/6
echter: y<r/2 , dus y=r/6
x bepalen (=straal cirkel4)O1O3 = r/2
O1O4 = r-x
O3O4 = r/2+x
•Pythagoras:
(O3O4)2=(O1O3)2+(O1O4)2
(r/2+x)2=(r/2)2+(r-x)2
x=r/3
y Bepalen (=straal cirkel5)
O1O3=r/2
O3O5=r/2+y
O4O5=r/3+y
O1O4=r-r/3
O1O5=r-y
•Pythagoras:
(O1O5)2-(O1M)2=(O5M)2
(O1O5)2-(O1M)2=(O3O5)2-(O3M)2
(O1O5)2-(O1M)2=(O3O5)2-(O1O3-O1M)2
(r-y)2-(O1M)2=(r/2+y)2-(r/2-O1M)2
O1M = r-3y
•Hérons Formule toegepast op driehoek O1O4O5
Oppervlakte =√(s(s-O1O4)(s-O4O5)(s-O1O5))
s=(O1O4+O4O5+O1O5)/2
s=((r-r/3)+(r/3+y)+(r-y))/2=r
s=r
O5N=2*Oppervlakte/O1O4
O5N=2*√(s(s-O1O4)(s-O4O5)(s-O1O5))/O1O4
O5N=2*√(s(s-O1O4)(s-O4O5)(s-O1O5))/O1O4
O5N=√(r(r-(r-r/3)).(r-(r/3+y).(r-(r-y))
O5N=√(y(2r-3y))
O1M=O5N=√(y(2r-3y))
(O1M)2=( r-3y)2 = y(2r-3y)
r2-6ry+9y2=2yr-3y2
12y2-8ry+r2=0
(6y-r)(2y-r)=0
y=r/2 of y=r/6
echter: y<r/2 , dus y=r/6
-
- Berichten: 463
Re: Raadsel over cirkelstralen
Alternatief (nog eenvoudiger?):
Via de stelling van Descartes:
https://nl.wikipedia.org/wiki/Stelling_van_Descartes
(schaal naar r1 = 1, dat scheelt administratie)
en
r5 = 1/6 is van cirkel 5
Via de stelling van Descartes:
https://nl.wikipedia.org/wiki/Stelling_van_Descartes
(schaal naar r1 = 1, dat scheelt administratie)
\(r_4:\)
\((-1+2+2+k_4)^2 = 2(1+4+4+k_4^2)\)
\(k_4^2-6k_4+9=0\)
\(k_4 = 3\)
\(r_4 = \frac{1}{3}\)
(in feite is dit een dubbele oplossing: cirkel 4 en zijn in de x-as gespiegelde)en
\(r_5:\)
\((-1+2+3+k_5)^2 = 2(1+4+9+k_5^2)\)
\(k_5^2-8k_5+12=0\)
\(k_5 = 2 \;\vee\; k_5 = 6\)
\(r_5 = \frac{1}{2} \;\vee\; r_5 = \frac{1}{6}\)
r5 = 1/2 is van cirkel 2r5 = 1/6 is van cirkel 5
-
- Berichten: 463
Re: Raadsel over cirkelstralen
En voor de voortzetting van de cirkels van ukster:
\(r_1 = 1\)
\(r_2 = r_3 = \frac{1}{2}\)
\(r_n = \frac{1}{n^2-6n+11} \;\;\; \text{voor}\; n\ge 4\)
-
- Berichten: 463
Re: Raadsel over cirkelstralen
Leuke oplossing!
Maar het alternatief met de voortzetting van ukster is ook niet zo ingewikkeld:
de krommingen van elk drietal rakende cirkels zijn steeds:
cirkel 1: 2
cirkel n: n² - 6n + 11
cirkel (n+1): (n+1)² - 6(n+1) + 11 = n² - 4n + 6
Via de stelling van Descartes krijgen we nu voor de kromming van de blauwe cirkels in de film:
k = 4n² - 20n + 39
En als we de cirkelnummering van ukster aanhouden, dan levert dit met startpunt n=3 de gezochte rij:
15, 23, 39, 63, 95, 135, 183, 239, ...
Maar het alternatief met de voortzetting van ukster is ook niet zo ingewikkeld:
de krommingen van elk drietal rakende cirkels zijn steeds:
cirkel 1: 2
cirkel n: n² - 6n + 11
cirkel (n+1): (n+1)² - 6(n+1) + 11 = n² - 4n + 6
Via de stelling van Descartes krijgen we nu voor de kromming van de blauwe cirkels in de film:
k = 4n² - 20n + 39
En als we de cirkelnummering van ukster aanhouden, dan levert dit met startpunt n=3 de gezochte rij:
15, 23, 39, 63, 95, 135, 183, 239, ...