Leibniz had it wrong?

Moderators: Michel Uphoff, Jan van de Velde

Reageer
Gebruikersavatar
Berichten: 7.463

Re: Leibniz had it wrong?

Professor Puntje schreef: do 16 dec 2021, 19:03 Ook is het de vraag of er positieve natuurlijke getallen n bestaan waarvoor \( \mathbb{D}^n \) leeg is.
Als we niets over het hoofd zien is \( \mathbb{D}^n \) dan voor geen enkel positief natuurlijk getal n leeg.

Gebruikersavatar
Berichten: 7.463

Re: Leibniz had it wrong?

Dan hebben we nog:
Professor Puntje schreef: do 16 dec 2021, 17:49 De vraag kan dan gesteld worden of ook voor alle positieve natuurlijke getallen n en m met m < n geldt dat: \( \mathbb{D}^n \subseteq \, \mathbb{D}^m \) .

Gebruikersavatar
Berichten: 10.559

Re: Leibniz had it wrong?

Dat denk ik niet. Neem bijvoorbeeld
\(f(q)=(q^2+2) \cdot e\)
Deze heeft als afgeleide \(2q \cdot e\) en die is niet transcendent in q=0

Maar de tweede afgeleide is \(2e\) en die is wel overal transcendent. Dus f(q) zit wel in \(\mathbb D^0\) en \(\mathbb D^2\) maar niet in \(\mathbb D^1\).

En zo zijn er meer voorbeelden
\(f(q)=(q^2+2)^{\sqrt{2}}\)
met als afgeleide \(2\sqrt{2}q \cdot(q^2+2)^{\sqrt{2}-1}\) en als 2e afgeleide
\(2 \sqrt{2} (q^2+2)^{\sqrt{2}-1} + 4 \sqrt{2}(\sqrt{2}-1)(q^2+2)^{\sqrt{2}-2}=(\frac{2\sqrt{2}}{q^2+2}+\frac{4 \sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{(q^2+2)^2})(q^2+2)^{\sqrt{2}}\)
(de derde afgeleide is weer 0 voor q=0)
Cetero censeo Senseo non esse bibendum

Gebruikersavatar
Berichten: 7.463

Re: Leibniz had it wrong?

Dank! Die familie van functieklassen \( \mathbb{D}^n \) blijkt zo langzamerhand toch wel enkele interessante eigenschappen te hebben.

Gebruikersavatar
Berichten: 7.463

Re: Leibniz had it wrong?

De volgende definitie lijkt nu zinvol:

Onder de kernklasse \( \mathbb{K} \) verstaan we de verzameling van al die functies van \( \mathbb{Q} \) naar \( \mathbb{R} \) die in al de functieklassen \( \mathbb{D}^n \) zitten. Oftewel: \( f \in \mathbb{K} \,\,\, \Leftrightarrow \,\, f \in \mathbb{D}^0 \,\, \& \, f \in \mathbb{D}^1 \,\, \& \, f \in \mathbb{D}^2 \,\, \& \, f \in \mathbb{D}^3 \, \, \& \, ... \)

Gebruikersavatar
Berichten: 7.463

Re: Leibniz had it wrong?

Op Quora wordt voor het geval f(x) = sin(x-√2) het gebruik van Eulers formule voorgesteld. Helaas kan ik het daar gegeven bewijs niet goed volgen. Wel denk ik met het onderstaande een stap in de goede richting te hebben gezet:

Laat r = cos(x) een rationaal getal zijn. Dan hebben we:
\(\)
\( \cos(x) = r \)
\( \frac{e^{\mathrm{i} x} + e^{- \mathrm{i} x}}{2} = r \)
\( e^{\mathrm{i} x} + e^{- \mathrm{i} x} = 2 r \)
\( (e^{\mathrm{i} x})^2 + 1 = 2 r e^{\mathrm{i} x} \)
\( (e^{\mathrm{i} x})^2 - 2 r e^{\mathrm{i} x} + 1 = 0 \)
\(\)
Dus om een rationale uitkomst voor cos(x) op te leveren moet \( e^{\mathrm{i} x} \) wel algebraïsch dus niet transcendent zijn. Dus kan ix geen algebraïsch getal ongelijk aan nul zijn. De enige eventuele mogelijkheid voor een rationale uitkomst voor cos(x) voor rationale x die overblijft is dus x=0. En inderdaad levert x=0 op dat cos(0) = 1.

Gebruikersavatar
Berichten: 7.463

Re: Leibniz had it wrong?

Ik zie net dat het al op de Wikipedia staat: https://en.wikipedia.org/wiki/Transcend ... scendental

Berichten: 3.860

Re: Leibniz had it wrong?

Professor Puntje schreef: ma 27 dec 2021, 23:44 Ik zie net dat het al op de Wikipedia staat: https://en.wikipedia.org/wiki/Transcend ... scendental
Ik zie tot nu toe nog geen enkele aanwijzing voor een verband tussen transcendente getallen en differentieerbaarheid anders dan het resultaat uit een droom van professor p. Waarom denk je dat er zo'n verband zou zijn? Er zou toch op zijn minst een vermoeden moeten zijn op basis van iets tastbaars? Het heeft anders weinig zin om iets te zoeken wat er gewoon niet is.

Gebruikersavatar
Berichten: 7.463

Re: Leibniz had it wrong?

Vooralsnog bevat dit topic enkel maar recreatieve wiskunde. Recreatieve wiskunde wordt beoefend vanwege het plezier dat het verschaft om met wiskundige problemen bezig te zijn en om naar (liefst elegante) oplossingen te zoeken. Het onderzoek van de familie functieklassen \( \mathbb{D}^n \) dat wij hier doen leidt tot interessante want verrassende resultaten, en meer is er voor recreatieve wiskunde niet nodig. Misschien dat dit alles ooit nog praktische toepassing vindt en misschien ook niet. Maar dat is voor recreatieve wiskunde irrelevant. Er hoeft hier ook niet specifiek iets over een verband tussen differentieerbaarheid en transcendente getallen bewezen te worden, al zou dat wel leuk zijn. De enige vereiste is dat er gaandeweg steeds weer niet-triviale problemen blijven opduiken en elegante oplossingen gevonden worden, want zolang dat zo is blijft het ook leuk.

Gebruikersavatar
Berichten: 7.463

Re: Leibniz had it wrong?

Het feit of een continue functie f van \( \mathbb{Q} \) naar \( \mathbb{R} \) met enkel transcendente functiewaarden al dan niet in een functieklasse \( \mathbb{D}^n \) zit zegt iets over de aard van die functie. Dat leidt ons tot de volgende definitie:

Onder de aard \( \mathrm{ar}(f)\) van een continue functie f van \( \mathbb{Q} \) naar \( \mathbb{R} \) met enkel transcendente functiewaarden (d.w.z. voor een functie \( f \in \mathbb{D}^0 \)) verstaan we de oneindige rijmatrix ( a1 a2 a3 ... an ... ) met \( a_i = 1 \) voor \( f \in \mathbb{D}^i \) en \( a_i = 0 \) voor \( f \notin \mathbb{D}^i \) .

Gebruikersavatar
Berichten: 7.463

Re: Leibniz had it wrong?

Even een samenvatting, aanvulling en precisering van de tot nog toe geïntroduceerde definities en terminologie:

(1) Laat de grondklasse \( \mathbb{D}^0 \) de verzameling zijn van alle continue functies van \( \mathbb{Q} \) naar \( \mathbb{R} \) die enkel transcendente functiewaarden hebben. De elementen van de grondklasse \( \mathbb{D}^0 \) noemen we grondfuncties. (De termen basisklasse en basisfunctie lijken mij hier niet verstandig aangezien er in de wiskunde al tal van andere basis-zaken bestaan.)

(2) Onder de functieklasse \( \mathbb{D}^n \) met n een positief natuurlijk getal verstaan we de verzameling van alle grondfuncties waarvoor de n-de afgeleide bestaat en ook weer een grondfunctie is.

(3) Per definitie hebben we dan voor alle functieklassen \( \mathbb{D}^n \) met n een positief natuurlijk getal dat: \( \mathbb{D}^n \subseteq \, \mathbb{D}^0 \) .

(4) Bovendien is geen enkele functieklasse \( \mathbb{D}^n \) met n een positief natuurlijk getal of nul leeg, aangezien de grondfunctie \( \mathrm{g} : \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{R} \, ; \, g(x) = \frac{e}{x - \sqrt{2}} \) zoals we zagen in al die functieklassen (voor n een natuurlijk getal of nul) zit.

(5) Onder de kernklasse \( \mathbb{K} \) verstaan we de verzameling van alle grondfuncties die in al de functieklassen \( \mathbb{D}^n \) zitten. Oftewel: \( f \in \mathbb{K} \,\,\, \Leftrightarrow \,\, f \in \mathbb{D}^0 \,\, \& \, f \in \mathbb{D}^1 \,\, \& \, f \in \mathbb{D}^2 \,\, \& \, f \in \mathbb{D}^3 \, \, \& \, ... \) Gezien de in (4) vermelde voorbeeldfunctie is de kernklasse niet leeg.

(6) Onder de aard \( \mathrm{ar}(f)\) van een grondfunctie \( f \) verstaan we de oneindige rijmatrix ( a1 a2 a3 ... an ... ) met \( a_i = 1 \) voor \( f \in \mathbb{D}^i \) en \( a_i = 0 \) voor \( f \notin \mathbb{D}^i \) .

Gebruikersavatar
Berichten: 7.463

Re: Leibniz had it wrong?

Een logische vervolgvraag is dan welke oneindige rijmatrices ( a1 a2 a3 ... an ... ) er als de aard \( \mathrm{ar}(f) \) van een grondfunctie \( f \) kunnen voorkomen. De mogelijkheden (0 0 0 ... 0 ... ) en (1 1 1 ... 1 ... ) zijn nu wel duidelijk, maar valt er ook meer in het algemeen iets over te zeggen?

Gebruikersavatar
Berichten: 7.463

Re: Leibniz had it wrong?

Zijn er bijvoorbeeld grondfuncties \( f \) waarvoor onderstaande geldt?
\( \mathrm{ar}(f) = ( \, 1 \,\, 0 \,\, 1 \, \,0 \,\, 1 \,\, 0 \,\, ... \,\, 1 \,\, 0 \,\, ... \, ) \)
of
\( \mathrm{ar}(f) = ( \, 0 \,\, 1 \,\, 0 \, \,1 \,\, 0 \,\, 1 \,\, ... \,\, 0 \,\, 1 \,\, ... \, ) \)

Gebruikersavatar
Berichten: 7.463

Re: Leibniz had it wrong?

Bij het zoeken naar geschikte differentieerbare functies van \( \mathbb{Q} \) naar \( \mathbb{R} \) bedenk ik mij zojuist het volgende:

Is de functie g van \( \mathbb{Q} \) naar \( \mathbb{R} \) met functievoorschrift g(x) = | x - e | differentieerbaar voor alle x uit het domein? Zo ja - dan is dat een belangrijk verschil met de functie h(x) = | x - e | van \( \mathbb{R} \) naar \( \mathbb{R} \) die voor x=e uit het domein van h niet differentieerbaar is.

Gebruikersavatar
Berichten: 7.463

Re: Leibniz had it wrong?

Marko schreef: ma 27 dec 2021, 13:19 En zo zijn er meer voorbeelden
\(f(q)=(q^2+2)^{\sqrt{2}}\)
met als afgeleide \(2\sqrt{2}q \cdot(q^2+2)^{\sqrt{2}-1}\) en als 2e afgeleide
\(2 \sqrt{2} (q^2+2)^{\sqrt{2}-1} + 4 \sqrt{2}(\sqrt{2}-1)(q^2+2)^{\sqrt{2}-2}=(\frac{2\sqrt{2}}{q^2+2}+\frac{4 \sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{(q^2+2)^2})(q^2+2)^{\sqrt{2}}\)
(de derde afgeleide is weer 0 voor q=0)
De vraag is hoe dit verder gaat, blijft die afwisseling van een rationaal nulpunt en geen rationaal nulpunt zich steeds herhalen?

Reageer