Een raakcirkel

Moderators: dirkwb, Xilvo

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 9.781

Re: Een raakcirkel

De afstand tussen twee punten in een euclidische tweedimensionale ruimte (daar hebben we het hier over) is altijd hetzelfde, ongeacht het coördinatensysteem dat je gebruikt.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.229

Re: Een raakcirkel

In je nieuwe coördinaten systeem heb je dus

$$
\begin{bmatrix}
x' \\
y'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1/a & 0 \\
0 & 1/b
\end{bmatrix}
\cdot

\begin{bmatrix}
x \\
y
\end{bmatrix}
$$

De vergelijking van een cirkel

$$(x-x_m)^2+(y-y_m)^2=r^2$$

wordt nu

$$(x'a-x_m)^2+(y'b-y_m)^2=r^2$$

dat wordt dus een ellips.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.229

Re: Een raakcirkel

De metriek wordt

$$ds^2 = a^2dx'^2 + b^2dy'^2$$

De hoeken veranderen dus.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.229

Re: Een raakcirkel

De vergelijking van je schuine zijde c wordt

$$y'=1-x'$$

Je mag nu een punt gaan zoeken op deze rechte waarvoor geldt

$$y'b=x'a$$

Dus

$$\frac{a}{b}x'=1-x'$$

en we krijgen dan

$$x'=\frac{b}{a+b}$$
$$y'=\frac{a}{a+b}$$

en

$$x=y=\frac{ab}{a+b}$$

Gebruikersavatar
Berichten: 4.502

Re: Een raakcirkel

efdee schreef: vr 14 jan 2022, 22:28 Geen huiswerk.
Een rechthoekige driehoek heeft zijden a, b en c. De hoek tussen a en b is recht.
Hoe is de straal r van de cirkel te berekenen die a en b raakt en hoe vind je qua afstand waar diens middelpunt M op c ligt? (Dit is kennelijk niet de inwendige raakcirkel.)
raakcirkel1.png
raakcirkel1.png (10.02 KiB) 510 keer bekeken
raakcirkel2.png
raakcirkel2.png (3.23 KiB) 510 keer bekeken

Gebruikersavatar
Berichten: 4.282

Re: Een raakcirkel

Xilvo schreef: za 15 jan 2022, 20:06 De afstand tussen twee punten in een euclidische tweedimensionale ruimte (daar hebben we het hier over) is altijd hetzelfde, ongeacht het coördinatensysteem dat je gebruikt.
Dat is niet zo, er zijn dan nog steeds oneindig veel metrieken mogelijk.

De meest eenvoudige is. A en B punten van de ruimte X:

d(A,B)=1 als A ongelijk B.
d(A,B)=0 als A=B.

Gebruikersavatar
Berichten: 4.282

Re: Een raakcirkel

wnvl1 schreef: za 15 jan 2022, 21:26 De vergelijking van je schuine zijde c wordt

$$y'=1-x'$$

Je mag nu een punt gaan zoeken op deze rechte waarvoor geldt

$$y'b=x'a$$

Dus

$$\frac{a}{b}x'=1-x'$$

en we krijgen dan

$$x'=\frac{b}{a+b}$$
$$y'=\frac{a}{a+b}$$

en

$$x=y=\frac{ab}{a+b}$$
Dat gaat sneller met de 2de as vergelijking.
bx+ay=ab

Met: x=y

Reageer