SRT paradox: momentenevenwicht in een bewegend assenstelsel

[wnvl1]

winkelhaak.png (8.15 KiB) 1717 keer bekeken

Op een winkelhaak ACB die bevestigd is aan een vaste scharnier werken twee krachten met grootte F zoals weergegeven in de figuur. Het assenstelsel xy is het rustframe van de winkelhaak. Beide zijden van de winkelhaak hebben lengte L. UIteraard zal de winkelhaak niet roteren.

We beschouwen dezelfde winkelhaak nu vanuit een translerend assentstelsel x'y' dat volgens de x richting wegbeweegt van de winkelhaak met snelheid v. Er vindt bekeken vanuit dit assenstelsel een lengte contractie plaast. De nieuwe lengte van CB wordt \(\frac{L}{\gamma}\). De lengte van AC verandert niet. De nieuwe grootte van de kracht aangrijpend in B wordt na Lorentz transformatie \(\frac{F}{\gamma}\). De grootte van de kracht in A blijft F.

Dit betekent dat er in het nieuwe assenstelsel geen momentenevenwicht is rond C. Dus de winkelhaak zal roteren in het assenstelsel x'y'. Het netto moment is immers \(\tau = \frac{F}{\gamma} \times \frac{L}{\gamma}- F \times L\)


terwijl hij in het assenstelsel xy niet roteert. Een nieuwe paradox dus.

Niet de gemakkelijkste...

[Marko]

De nieuwe grootte van de kracht aangrijpend in B wordt na Lorentz transformatie \(\frac{F}{\gamma}\). De grootte van de kracht in A blijft F.

Net andersom, lijkt mij.

[wnvl1]

Als het andersom was, zou er inderdaad geen paradox zijn, maar het is effectief zoals ik het heb opgeschreven.

http://www.sciencebits.com/Transformati ... Relativity

[wnvl1]

Hier staat het duidelijker. In onze paradox is de \(\vec{u}\) gelijk aan nul, want de kracht staat stil in ons rust frame.
Voor een verticale kracht geldt in ons geval \(\vec{v} \cdot \vec{F} \) is nul. Snelheid van het bewegend frame en de kracht staan immers loodrecht op elkaar.

We krijgen dus\( \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\) in de teller, oftewel dus \(\gamma\) in de noemer. In het geval dat de kracht in de verticale richting staat, wordt deze kracht dus net zoals de lengte een factor \( \gamma\) kleiner.

Voor een horizontale kracht heb je dat \(\vec{v} \cdot \vec{F} \) gelijk is aan \(v \cdot F \). Dan zien je gemakkelijk dat de F haar waarde behoudt in een bewegend assenstelsel.

Het screenshot heb ik gehaald uit https://www.researchgate.net/publicatio ... n_of_Force

Die verwijst naar

[7] C. Moller, Theory of Relativity, Oxford, Clarendon Press (1972).



De paradox blijft dus behouden.

[Marko]

Zie hier voor een oplossing van de paradox.

[flappelap]

Ja, de oplossing staat natuurlijk online; dit is ook een aardig paper: arXiv:0805.1196v2

Maar ik zou hier zelf wel ff voor moeten zitten om dit zelf af te leiden

[wnvl1]

Ik stootte op dit probleem in mijn zoektocht naar een lijst van alle bestaande relativiteitsparadoxen. Het staat ook mooi uitgelegd op de wiki pagina van het Trouton–Noble experiment.
https://en.wikipedia.org/wiki/Trouton%E ... er_paradox
Daar wordt ook verwezen naar de paper van Franklin waar Flappelap naar verwees.

De paper maakt een onderscheid tussen 3 soorten van krachten:

1. De “Lorentz Kracht” \(F_L\) is de verandering van impuls
$$F_L=\frac{dp}{dt}$$
2. De “Minkowski Kracht”, \(F^{\mu}\), is een 4-vector, die je kan Lorentz transformeren.
$$F^{\mu}=(\gamma F_L v, \gamma F_L)$$
3. De “Newtoniaanse Kracht”, vertelt hoe een voorwerp gaat bewegen.
$$ F_N = ma = m\frac{dv}{dt}$$

Een gevolg van deze definities is dat de vernelling a niet altijd in het verlengde ligt van de Lorentzkracht.
De paper stelt dat \( r \times \frac{dp}{dt}\) verantwoordelijk is voor de verandering van de angulaire impuls, maar dat \(r\times a\) bepalend is of een voorwerp al dan niet gaat roteren. Het is zo dat \(r\times a\) niet Lorentz invariant is, maar als het nul is, is het nul in alle referentiestelsels.

Toch wel een heel merkwaardig probleem.

[wnvl1]

In de paper van Aranoff waarnaar Marko verwijst, noteren ze het iets anders. Ze werken met een 4-koppel

$$T_{\mu\nu i} =(x_{\mu}F_{\nu} -x_{\nu}F_{\mu})_i$$

dat aangrijpt op elke massa i van een systeem. \(F_{\mu}\) is een 4 vector. Het totale koppel is dan de tensor-som van de individuele koppels. Het 4-koppel is een tensor en als dat nul is in één frame, is het nul in alle frames.