SRT/ART paradox onderzeeër

[wnvl1]

Wanneer een onderzeeër onder water is, kan hij zinken of drijven, afhankelijk van het feit of zijn dichtheid hoger of lager is dan de dichtheid van het water. Stel dat we de dichtheid van de onderzeeër aanpassen aan die van het oceaanwater, wanneer beide in rust zijn, zodat de onderzeeër in evenwicht blijft als hij onder water is. Wat zou er dan moeten gebeuren, als de onderzeeër met een hoge snelheid snelheid onder water gaat varen?

Vanuit een waarnemer in het assenstelsel van de oceaan moet de onderzeeër zinken, omdat zijn dichtheid hoger wordt dan de dichtheid van het water door de Lorentz-contractie. Aan de andere kant zal een waarnemer binnen de onderzeeër beweren dat de onderzeeër zou moeten drijven, omdat het water nu dichter wordt.

De onderzeeër kan echter niet drijven in één frame en zinken in een ander frame, dus hebben we een nieuwe paradox.

Leuk om over na te denken, waarschijnlijk minder geschikt om zelf op te lossen. Wel veel over gepubliceerd dat wel min of meer leesbaar is voor 'gewone' mensen.

[wnvl1]

We bekijken het probleem eerst vanuit een referentieframe R vast verbonden met de oceaan. Later bekijken we het probleem vanuit een referentieframe vast verbonden met de duikboot.

De duikboot met massa \(m_0\) en volume \(V_0\) in rust vaart met een snelheid \(v_x\). Vanuit het equivalentieprincipe laten we de bodem van de oceaan naar boven versnellen met versnelling g.

We beschouwen een referentieframe R waarin de oceaan in rust is. De Archimedeskracht die inwerkt op de duikboot is de massa van de verplaatste hoeveelheid water vermenigvuldigd met g.

$$F_A = (V_0 / \gamma) \rho g =m_0 \rho \frac{g}{\gamma}$$

Voor de y-component van de tweede wet van Newton geldt

$$F_y = \frac{d}{dt} (\gamma m_0 v_y)$$
$$F_y = m_0 (\dot{\gamma} v_y + \gamma \dot{v_y} )$$

We hebben

$$\dot{\gamma} = (\frac{\gamma^3}{c^2} )u_y \dot{u_y}$$

Daaruit volgt als \(v_y << c\),

$$F_y = m_0 \gamma \dot{v_y} (\frac{1-(v_x/c)^2}{1-(v_x/c)^2-(v_y/c)^2}) \approx m_0 \gamma \dot{v_y} $$

Als we dit vergelijken met de formule voor de Archimedeskracht, volgt hieruit

$$\frac{dv_y}{dt}= \frac{g}{\gamma^2}$$

Deze opwaartse versnelling is kleiner dan de opwaartse versnelling van de bodem van de oceaan die g is. De duikboot zinkt dus.

[wnvl1]

We beschouwen nu een referentieframe R' dat meebeweegt met de duikboot. In dit frame is de opwaartse versnelling van de bodem niet g maar

$$a'=\frac{g}{\gamma^2}$$

Het bewijs hiervan is iets voor een ander topic.

In het nieuwe frame is de dichtheid van het water

$$\rho'={\gamma^2}\rho$$

De Archimedeskracht op de duikboot is

$$F'_A = \rho' V' a'$$

Het volume V' in het frame R' is het rustvolume \(V_0\)

We hebben dus

$$F'_A = \rho V_0 g = m_0 g$$

In het nieuwe frame hebben we \(\gamma = 1\) en bijgevolg is

$$\frac{dv'_y}{dt}= \frac{g}{\gamma^2} = g$$

Op het eerste gezicht is de opwaartse versnelling van de boot groter dan de opwaartse versnelling van de bodem.

Maar in het frame R' is de bodem niet langer vlak, maar hij wordt gegeven door

$$y=\frac{1}{2}gt^2$$

Dit kan via een Lorent transformatie omgezet worden naar

$$y'=\frac{1}{2}g(\gamma (t'+vx'/c^2))^2$$

De locatie van de duikboot wordt beschreven door

$$y'=h + \frac{1}{2}\left(\frac{dv'_y}{dt'}\right)^2 t'^2$$

Door beide uitdrukking aan elkaar gelijk te stellen, kan gevonden worden dat de boot op

$$t'=\sqrt{2h/g\sqrt{1/(\gamma^2-1)}}$$

op de bodem terecht komt.

De duikboot zinkt dus in bede referentie frames. De paradox is nu opgelost met de SRT.

[wnvl1]

Bovenstaande berekeningen zijn gebaseerd op de paper van de uitvinder van de submarine paradox James Supplee. Een interessant vervolg is deze paper van Vieira die het probleem bekijkt vanuit de ART.

https://arxiv.org/pdf/1611.07517.pdf