ring

[Xilvo]

Als er geen impulsuitwisseling is wel. Ik heb het nog niet over de botsing met het blok, daar heb ik nog niet naar gekeken.
Misschien zit daar de verwarring?

[ukster]

!

[ukster]

beschouw het als een puntmassasysteem

[wnvl1]

@xilvo Dan was er een misverstand.

[wnvl1]

beschouw het als een puntmassasysteem

Tijdens de botsing gaat dat niet mogen.

[wnvl1]

Zo een vraag kan je ook oplossen met Lagrange.
Ons systeem heeft twee vrijheidsgraden De positie x van de massa en de hoek \(\theta\) die de koord maakt met de verikale.

$$T = \frac{m \cdot \dot{x}^2}{2} + \frac{3m}{2} (\dot{x} - \sin \theta \cdot \dot{\theta} )^2 + \cos^2 \theta \cdot \dot{\theta}^2 $$
$$V = -0.80 \cdot \cos\theta \cdot 3mg$$

We hebben dus \(L = T-V\)

$$L = \frac{m \cdot \dot{x}^2}{2} + \frac{3m}{2} (\dot{x} - \sin \theta \cdot \dot{\theta} )^2 + \cos^2 \theta \cdot \dot{\theta}^2 + 0.80 \cdot \cos\theta \cdot 3mg$$

De bewegingsvergelijkingen worden dan

$$\frac{d}{dt} (\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}) - \frac{\partial L}{\partial {x}} = 0$$


$$\frac{d}{dt} (m \dot{x} + 3m(\dot{x} - \sin \theta \cdot \dot{\theta} ) = 0$$


en



$$\frac{d}{dt} (\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}) - \frac{\partial L}{\partial {\theta}} = 0$$

$$\frac{d}{dt} (3m(\dot{x} - \sin \theta \cdot \dot{\theta} )\cdot (- \sin(\theta))+2\cos^2\theta \cdot \dot \theta) = 0$$

Beginvoorwaarden zijn

\(\theta(0)=0\)
\(x(0)=0\)
\(\dot\theta(0)=0\)
\(\dot x(0)=2\)

Dit is het stelsel van DVen dat opgelost moet worden. Je moet dus weten wat de toestand is tegen dat de botsing zal plaatsvinden.

[wnvl1]

$$\frac{d}{dt} (3m(\dot{x} - \sin \theta \cdot \dot{\theta} )\cdot (- \sin(\theta))+2\cos^2\theta \cdot \dot \theta - 0.8 \sin \theta 3 \cdot mg) = 0$$

moest de laatste DV zijn

[wnvl1]

Op het moment van de botsing gaat m zijn absolute grootte van snelheid bewaren en kan je behoud van energie toepassen bij volledige restitutie. Daaruit kan je dan wel nieuwe beginvoorwaarden berekenen voor de verdere evolutie van het systeem. Dat is allemaal best wel veel werk.

[wnvl1]

Niet zo moeilijk om daar de dv's voor op te stellen en numeriek op te lossen.

Dat is relatief, maar ik denk dat het aantal forumleden dat daarin slaagt toch vrij beperkt is.

[wnvl1]

Er stonden vervelende rekenfouten in mijn vorige lange post.
Hier de juiste versie. Al sluit ik niet uit dat er nog typefouten in zullen zitten.




Zo een vraag kan je ook oplossen met Lagrange.
Ons systeem heeft twee vrijheidsgraden De positie x van de massa en de hoek \(\theta\) die de koord maakt met de verikale.

$$T = \frac{m \cdot \dot{x}^2}{2} + \frac{3m}{2} ((\dot{x} - \sin \theta \cdot \dot{\theta} )^2 + \cos^2 \theta \cdot \dot{\theta}^2) $$
$$V = -0.80 \cdot \cos\theta \cdot 3mg$$

We hebben dus \(L = T-V\)

$$L = \frac{m \cdot \dot{x}^2}{2} + \frac{3m}{2} ((\dot{x} - \sin \theta \cdot \dot{\theta} )^2 + \cos^2 \theta \cdot \dot{\theta}^2 ) + 0.80 \cdot \cos\theta \cdot 3mg$$

De bewegingsvergelijkingen worden dan

$$\frac{d}{dt} (\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}) - \frac{\partial L}{\partial {x}} = 0$$


$$\frac{d}{dt} (m \dot{x} + 3m(\dot{x} - \sin \theta \cdot \dot{\theta} )) = 0$$


en



$$\frac{d}{dt} (\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}) - \frac{\partial L}{\partial {\theta}} = 0$$

$$\frac{d}{dt} (3m((\dot{x} - \sin \theta \cdot \dot{\theta} )\cdot (- \sin(\theta))+2\cos^2\theta \cdot \dot \theta) )
+ 3m ((\dot{x} - \sin \theta \cdot \dot{\theta} ) \cdot (- \cos \theta ) + 3m \cos \theta \sin \theta \cdot \dot{\theta}^2
- 0.8 \sin \theta \cdot 3mg = 0$$


Beginvoorwaarden zijn

\(\theta(0)=0\)
\(x(0)=0\)
\(\dot\theta(0)=0\)
\(\dot x(0)=2\)

Dit is het stelsel van DVen dat opgelost moet worden. Je moet dus weten wat de toestand is tegen dat de botsing zal plaatsvinden.

[ukster]

Sorry, ik heb me nogal verkeken op de complexiteit van het systeem
Ik haak af...

[wnvl1]

De methode van Hamilton moet waarschijnlijk nog wel efficient gaan met jouw softwarepakket.Maar dan moet ja apart de botsing nog uitwerken. Je zou dan ook een animatie moeten maken om te zien dat het geloofwaardig is.
Alles bij mekaar inclusie de fouten eruit halen (wat altijd de meeste tijd kost) ga je er toch een paar uur in moeten steken denk ik.

[wnvl1]

Ik weet niet of je in python bovenstaande differentiaal vergelijkingen uit Hamilton gemakkelijk opgelost krijgt.