gaat in een centrifuge de tijd langzamer?

Moderator: physicalattraction

Reageer
Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 9.901

Re: gaat in een centrifuge de tijd langzamer?

Ik reken daar niet met potentialen maar alleen met de richting van de zwaartekracht, zelfs niet met de grootte. Die richting zal mogelijk ook niet exact naar het centrum wijzen (al zou dat ook goed kunnen) maar veel zal het niet schelen.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.270

Re: gaat in een centrifuge de tijd langzamer?

Als het veld conservatief is, moet dat omgezet kunnen worden naar potentialen lijkt mij. Ik probeer uit te zoeken of het conservatief is.

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 9.901

Re: gaat in een centrifuge de tijd langzamer?

Als het niet conservatief is moet je energie kunnen winnen of verliezen door een gesloten pad af te leggen. Dat lijkt me onwaarschijnlijk. Maar zeker weet ik dat niet.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.270

Re: gaat in een centrifuge de tijd langzamer?

Dit is het krachtenveld in de benadering van Xilvo

$$F = ( \frac{-Gmx}{x^2 + y^2} + x\omega^2 , \frac{-Gmy}{x^2 + y^2})$$

Om conservatief te zijn moet

$$\frac{\partial( \frac{-Gmx}{x^2 + y^2} + x\omega^2)}{\partial y} = \frac{\partial \frac{-Gmy}{x^2 + y^2}}{\partial x}$$

Wat wel het geval lijkt te zijn.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.270

Re: gaat in een centrifuge de tijd langzamer?

Vorige bericht is fout.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.270

Re: gaat in een centrifuge de tijd langzamer?

Dit is het krachtenveld in de benadering van Xilvo

$$F = \left( \frac{-Gmx}{(x^2 + y^2)^{1.5}} + x\omega^2 ; \frac{-Gmy}{(x^2 + y^2)^{1.5}}\right)$$

Om conservatief te zijn moet

$$\frac{\partial( \frac{-Gmx}{(x^2 + y^2)^{1.5}} + x\omega^2)}{\partial y} = \frac{\partial \frac{-Gmy}{(x^2 + y^2)^{1.5}}}{\partial x}$$

Wat wel het geval lijkt te zijn.

Als ik dan ga integreren kom ik op

$$U = \int \frac{-Gmx}{(x^2 + y^2)^{1.5}} + x\omega^2 dx + C(y)$$

$$U = \frac{Gm}{(x^2 + y^2)^{0.5}} + \frac{x^2\omega^2} {2}$$

Gebruikersavatar
Berichten: 2.270

Re: gaat in een centrifuge de tijd langzamer?

Wat Xilvo doet is het zich verplaatsen loodrecht op de kracht en dat zou hetzelfde moeten zijn als in een equipotentaal oppervlak blijven, dus beide oplossingen hadden tot hetzelfde moeten leiden.

Het is wel zo dat ik gerekend heb richting rotatie snelheid van de aarde en Xilvo naar de straal. Misschien is het een numeriek probleem? Ik trek twee kleine getallen van elkaar af tijdens de numerieke berekening.

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 9.901

Re: gaat in een centrifuge de tijd langzamer?

Er gaat iets mis met de tekens in jouw berekening.

Ik kijk naar de x-richting, vanaf het middelpunt van de aarde richting evenaar.
\(r\) is de afstand vanaf het middelpunt, \(R\) "de" straal van de aarde. Even aangenomen dat het een echte bol is met uniforme dichtheid.
\(F(r)=-Gm\frac{r}{R^3}+\omega^2 r\)
Krachten weer per massa-eenheid.
Uitleg eerste term: Op afstand r van het middelpunt heb je een bol onder je met massa \(m\frac{r^3}{R^3}\) en de kracht is dan \(F_z(r)=-Gm\frac{r^3}{R^3}\frac{1}{r^2}=-Gm\frac{r}{R^3}\)

Integreren levert \(V(r)=-\int_0^r F(r)=\frac{1}{2}r^2(\frac{Gm}{R^3}-\omega^2)\)

Je kunt natuurlijk geen krachten met tegengesteld teken hebben die resulteren in een potentiaal met gelijk teken.

Welke numerieke berekening doe je?

Gebruikersavatar
Berichten: 2.270

Re: gaat in een centrifuge de tijd langzamer?

Xilvo schreef: za 25 jun 2022, 10:14 Je kunt natuurlijk geen krachten met tegengesteld teken hebben die resulteren in een potentiaal met gelijk teken.
Het teken van de kracht hangt af van het stijgen of dalen van de potentiaal in een bepaalde richting.
Dat hangt niet noodzakelijk samen met het teken van de potentiaal.
Ik zal later uitgebreider antwoorden.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.270

Re: gaat in een centrifuge de tijd langzamer?

tekening.png
tekening.png (12.89 KiB) 512 keer bekeken
De kracht in een bepaalde richting is het tegengestelde van de gradiënt van de potentiaal

$$\vec{F}(\vec{r}) = - grad( U(\vec{r}))$$

De centripetale kracht staat naar rechts op mijn tekening. Dus het centripetaal deel van de potentiaal moet naar rechts dalen.

De gravitatie kracht staat naar het centrum op mijn tekening. Dus het gravitationeel deel van de potentiaal moet weg van het centrum stijgen. Dus dan kom ik op dit.


$$U = -\frac{Gm}{(x^2 + y^2)^{0.5}} - \frac{x^2\omega^2} {2}$$

Beiden hetzelfde teken dus.

Mijn twee tekens stonden verkeerd maar dat maakt voor de berekening niet uit. Belangrijk is twee keer hetzelfde teken.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.270

Re: gaat in een centrifuge de tijd langzamer?

Ik zal mijn berekening van eerder herwerken zodat ik ook de straal op de evenaar uitreken vertrekkend vanuit de noordpool naar de evenaar toe net zoals jij, dan zijn onze berekeningen gemakkelijker te vergelijken.

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 9.901

Re: gaat in een centrifuge de tijd langzamer?

Dat betekent toch dat als je het centrum als nulpunt voor de potentiaal kiest, de potentiaal door zwaartekracht aan het oppervlak positief moet zijn?

Gebruikersavatar
Berichten: 2.270

Re: gaat in een centrifuge de tijd langzamer?

De potentiaal in het centrum gaat in onze benadering naar oneindig. We stoppen de volledige massa immers in deze benadering in het centrum. Het heeft weinig toegevoegde waarde om onze potentiaal exact uit te rekenen binnen in de aarde. De formule voor de potentiaal wordt dan iets dat verschilt boven en onder het aardoppervlak maar op het aardoppervlak wel continu is. Best gewoon van het centrum afblijven.En een formule opstellen juist boven het aardoppervlak.

Het teken van de potentiaal kan niet relevant zijn want een potentiaal is maar gedefinieerd op een constante na.

Gebruikersavatar
Moderator
Berichten: 9.901

Re: gaat in een centrifuge de tijd langzamer?

De potentiaal gaat niet naar oneindig. De versnelling van de zwaartekracht neemt vanaf het oppervlak af naarmate je dichter bij het middelpunt komt, in het geval van een homogene bol zelfs lineair.
Voor zo'n bol is de potentiaal, als je die in het oneindige op nul stelt, aan het oppervlak negatief en in het centrum nog eens anderhalf keer de waarde aan het oppervlak.

Ook wordt de potentiaal niet discontinu aan het oppervlak, dan zou de kracht (versnelling) daar oneindig groot worden.
Je kunt volgens mij prima van het centrum uitgaan. Het hoeft inderdaad niet, het teken op zich doet er evenmin toe.
Maar omdat de zwaartekracht naar het centrum is gericht zal de potentiaal, in welk model ook, moeten toenemen naarmate je verder van het centrum komt, zowel binnen de bol als erbuiten.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.270

Re: gaat in een centrifuge de tijd langzamer?

Ik had mijn vorige bericht quasi direct na het posten aangepast ivm die discontinuïteit, maar je hebt waarschijnlijk gereageerd op de oude versie.

Het is de (a) uit deze oefening, maar we hebben allebei wel hetzelfde voor ogen, denk ik. Je hebt mijn bericht iets anders gelezen dan dat ik het bedoeld had wanneer ik het had over de benadering.

https://www.sarthaks.com/548663/is-poin ... tential-at

Maar ik zal het nu eerst uitrekenen dat is wat telt.

Reageer