Pagina 1 van 1
zomaar
Geplaatst: vr 12 aug 2022, 14:29
door Rik Speybrouck
Iets voor op een hete zomerdag zoals vandaag (zie bijlage)
Re: zomaar
Geplaatst: za 13 aug 2022, 15:42
door Xilvo
Als ik het goed lees staat er
$$x+\frac{1}{y}=4$$
en
$$y+\frac{1}{x}=\cos^2{9°}=\cos^2{\frac{\pi}{20}}$$
Dan zijn er volgens mij geen reële oplossingen voor x en y en wordt de uiteindelijke vorm bijzonder groot.
Re: zomaar
Geplaatst: za 13 aug 2022, 15:56
door Rik Speybrouck
9 graad is wel pi/20
Re: zomaar
Geplaatst: za 13 aug 2022, 15:58
door Xilvo
Je hebt gelijk. Ik heb het verbeterd. Maar dat verandert niet wat ik verder schreef.
Re: zomaar
Geplaatst: za 13 aug 2022, 16:07
door Rik Speybrouck
het gaat hem eerder om de som in de laatste lijn met de machten 2022
Re: zomaar
Geplaatst: za 13 aug 2022, 17:58
door RedCat
Definieer:
\(c=\cos(9^o)\)
\(s=\sin(9^o)\)
Substitueer
\(x=4-\frac{1}{y}\)
in de tweede formule.
De abc-formule geeft dan voor y:
\(y=\frac{c^2 \; \pm \; c\cdot \sqrt{c^2-1}}{2} = \frac{1}{2}c(c \pm i\cdot s)\)
en dus voor bijbehorende x:
\(x=4-\frac{1}{\frac{1}{2}c(c \pm i\cdot s)}=4-\frac{2}{c(c \pm i\cdot s)}=\)
\(=\frac{2}{c}\cdot \left(2c-\frac{1}{c \; \pm \; i\cdot s}\right)=\frac{2}{c}\cdot \left(2c-\frac{c \; \mp \; i\cdot s}{c^2 \; + \; s^2}\right)=\frac{2}{c}(c \; \pm \; i\cdot s)\)
Hierdoor is:
\(xy = (c \; \pm \; i\cdot s)^2 = \left( e^{\pm i\cdot \pi/20}\right)^2=e^{\pm i\cdot \pi/10}\)
en
\(xy^{2022} = e^{\pm i\cdot \frac{\pi \cdot (2020 + 2)}{10}} \)
en wegens periodiciteit 2π:
\(xy^{2022} = e^{\pm i\cdot \pi / 5} \)
waardoor
\(xy^{-2022} = e^{\mp i\cdot \pi / 5} \)
en dus
\(xy^{2022} + xy^{-2022} = e^{\pm i\cdot \pi / 5} + e^{\mp i\cdot \pi / 5}=\)
\(=\cos 36^o \pm i \; \sin{36^o} + \cos 36^o \mp i \; \sin{36^o} = 2\cos 36^o\)
Re: zomaar
Geplaatst: za 13 aug 2022, 18:09
door Xilvo
@RedCat
Helemaal mee eens. Maar er wordt toch naar
$$(xxy)^{2022}+\frac{1}{(xxy)^{2022}}$$
gevraagd?
Re: zomaar
Geplaatst: za 13 aug 2022, 18:48
door Rik Speybrouck
is phi
Re: zomaar
Geplaatst: za 13 aug 2022, 18:50
door RedCat
De x en × lijken inderdaad op elkaar, maar volgens mij staat er:
\((x\times y)^{2022}+\frac{1}{(x\times y)^{2022}}\)
Re: zomaar
Geplaatst: za 13 aug 2022, 18:56
door Xilvo
RedCat schreef: ↑za 13 aug 2022, 18:50
De x en × lijken inderdaad op elkaar, maar volgens mij staat er:
\((x\times y)^{2022}+\frac{1}{(x\times y)^{2022}}\)
Nu je het zegt...
En ik was al blij dat ik erachter kwam dat wat ik eerst las als
\((os^2 9^0\) stond voor
\(\cos^2 9°\)
Het is meestal een stuk duidelijk als LaTex gebruikt wordt.
Re: zomaar
Geplaatst: za 13 aug 2022, 19:11
door RedCat
https://nl.wikipedia.org/wiki/Gulden_snede
Die link had ik nog niet gelegd.
Leuke opgave !
