[wiskunde] verwachtingswaarde

[Xilvo]

Ah, ik zie het probleem, Als je E[ b] schrijft, zonder de spatie tussen de [ en de b, dan wordt dat gezien als opdracht over te gaan op "bold".
Zet er maar een spatie tussen.

Maar goed, E[ b], de verwachtingswaarde van de constante b is natuurlijk gewoon b.
Dus E[X-b]=μ_x - b.

En dat is niet gelijk aan σ_x²+(μ_x-b)

Dat betekent dat je oorspronkelijke vermoeden niet kan kloppen.

[wiskunde321]

Hoe bereken je bv. E[(X-b)^3]?

[Xilvo]

Daar ga ik morgen eens naar kijken.

[wiskunde321]

oki

[wnvl1]

In afwachting van het antwoord kan je proberen om het merkwaardig product uit te werken en eventueel proberen om in de resulterende uitdrukking de standaard deviatie en de scheefheid (skewness) op te nemen...

[wiskunde321]

heb geprobeerd maar ik heb de skewness ook niet gegeven. Ik heb enkel de verwachtingswaarde E[ x ] en standaarddeviatie

[wiskunde321]

ah maar wacht ik zie dat het mss wel kan lukken want er ook gegeven dat het een symmetrische verdeling is

[wiskunde321]

x³ = a³+3a²(x-a) +3a(x-a)²+(x-a)³ en

E[(x-a)³] = k3 en k3/σ³ = skewness maar die moet 0 zijn want symmetrisch

dus E[(x-a)³] =0 kloppen mijn beweringen?

[Xilvo]

x³ = a³+3a²(x-a) +3a(x-a)²+(x-a)³ en

Het gaat niet helemaal goed met de tekens

dus E[(x-a)³] =0 kloppen mijn beweringen?

Alleen als a het gemiddelde, de verwachtingswaarde, van X is. In het algemeen niet.

[Xilvo]

Uitschrijven, met \(E[X]=\mu_x\):
$$E[(X-b)^3]=E[X^3]-E[3X^2b]+E[3X b^2]-E[b^3]=E[X^3]-3 b E[X^2]+3 b^2\mu_x-b^3$$
Maar je kunt ook schrijven
$$E[(X-b)^3]=E[(X-\mu_x+\mu_x-b)^3]=E[((X-\mu_x)+(\mu_x-b))^3]=$$
$$=E[(X-\mu_x)^3]-E[3(X-\mu_x)^2(\mu_x-b)]+E[3(X-\mu_x)(\mu_x-b)^2]-E[(\mu_x-b)^3]$$
$$=E[(X-\mu_x)^3]-3\sigma_x^2(\mu_x-b)-(\mu_x-b)^3$$

[wiskunde321]

a is toch een willekeurige dus kan je toch kiezen a=μ_x ?

[Xilvo]

a is toch een willekeurige dus kan je toch kiezen a=μ_x ?

Dat kan, maar dat hoeft niet. Tenzij dat gegeven is kun je er niet van uit gaan.

[wiskunde321]

maar hoe werk je de term E[(x-μ_x)³] dan uit in functie van σ_x en μ_x

[Xilvo]

maar hoe werk je de term E[(x-μ_x)³] dan uit in functie van σ_x en μ_x

Zie bijvoorbeeld hier.

[wiskunde321]

de algemene formule zegt toch k_n=E[(X-μ_x)^k] in mijn geval μ_x=a

k3/(σ_x)³ = skewness =0 (symmetrische verdeling)