Pagina 1 van 2

integraal

Geplaatst: di 31 jan 2023, 19:52
door ukster
bepaalde integraal.png
bepaalde integraal.png (1.98 KiB) 4647 keer bekeken
Welke substitutie(s) kunnen hier het beste worden toegepast?

Re: integraal

Geplaatst: wo 01 feb 2023, 12:27
door tempelier
Heb je al geprobeerd hem op te spitsen via:

ln(a/b) = ln a - ln b

?

Re: integraal

Geplaatst: wo 01 feb 2023, 12:57
door ukster
Ja, bijvoorbeeld met substitutie x=3y en aanpassing van de integratiegrenzen.
substitutie.png
substitutie.png (7.35 KiB) 4568 keer bekeken

Re: integraal

Geplaatst: wo 01 feb 2023, 13:09
door tempelier
dy/y = ln y

Re: integraal

Geplaatst: wo 01 feb 2023, 13:11
door wnvl1
Misschien reeksontwikkeling van de ln rond 1?

Re: integraal

Geplaatst: wo 01 feb 2023, 13:29
door ukster
tempelier schreef: wo 01 feb 2023, 13:09 dy/y = ln y
Dit levert een expressie met dilog op
expressie met dilog.png
de numerieke oplossing ervan is ≈0,60347.... dus dat klop wel

Re: integraal

Geplaatst: wo 01 feb 2023, 20:52
door wnvl1
Je hebt via reeksontwikkeling

$$\ln(1+x) = x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots$$

,dus

$$\ln(1+9y^4) = 9y^4-\frac{9^2y^8}{2}+\frac{9^3y^{12}}{3}-\frac{9^4y^{16}}{4}+\cdots$$
en
$$\ln(1+y^2) = y^2-\frac{y^4}{2}+\frac{y^{6}}{3}-\frac{y^{8}}{4}+\cdots$$

$$\frac{\ln(1+9y^4) - \ln(1+y^2)}{y}=-y + \frac{17}{2}y^3-\frac{1}{3}y^5-\frac{191}{4}y^7+...$$

Dat integreren en dan grenzen invullen, maar direct naar een oplossing leiden doet dat ook niet, denk ik.

Re: integraal

Geplaatst: wo 01 feb 2023, 21:53
door HansH
ukster schreef: di 31 jan 2023, 19:52 bepaalde integraal.png
Welke substitutie(s) kunnen hier het beste worden toegepast?
is er een reden waarom het zodanig is opgeschreven dat de 1/x apart staat en niet al is vermenigvuldigd met de noemer tot x^3 +9x ?

Re: integraal

Geplaatst: wo 01 feb 2023, 22:34
door ukster
wnvl1 schreef: wo 01 feb 2023, 20:52 Dat integreren en dan grenzen invullen, maar direct naar een oplossing leiden doet dat ook niet, denk ik.
Ik verwacht ook niet dat hiermee de exacte oplossing 1/2(ln(3))2 er uitrolt.
HansH schreef: wo 01 feb 2023, 21:53 is er een reden waarom het zodanig is opgeschreven dat de 1/x apart staat en niet al is vermenigvuldigd met de noemer tot x^3 +9x ?
Kan niet. De complete ln-uitdrukking wordt gedeeld door x

Overigens hebben W.Janous en S.Jason het probleem gegeneraliseerd met het volgende bewijs:
bepaalde integraal.png
bepaalde integraal.png (3.23 KiB) 4457 keer bekeken

Re: integraal

Geplaatst: wo 01 feb 2023, 22:39
door wnvl1
Waar kunnen we dan het bewijs vinden?
Of moeten we die uitdrukking met de dilog als bewijs beschouwen?

Re: integraal

Geplaatst: wo 01 feb 2023, 22:45
door ukster
wnvl1 schreef: wo 01 feb 2023, 22:39 Waar kunnen we dan het bewijs vinden?
Of moeten we die uitdrukking met de dilog als bewijs beschouwen?
Op het net heb ik dat bewijs (nog) niet kunnen vinden.
Die dilogexpressie geeft de numerieke oplossing.

ik had gedacht de exacte oplossing te vinden door substitutie(s)

Re: integraal

Geplaatst: wo 01 feb 2023, 23:01
door ukster
Ik stel me zo voor dat door het toepassen van nog een (slimme) substitutie het probleem wordt opgedeeld in bijvoorbeeld drie integralen waarvan er één het exacte resultaat oplevert en de som van de andere twee nul is.

Re: integraal

Geplaatst: wo 01 feb 2023, 23:27
door wnvl1
Dikwijls zit er in dat soort van puzzels ook een symmetrie waardoor er dingen wegvallen. Die symmetrie komt dan vaak naar boven door de juiste substitutie.

Re: integraal

Geplaatst: wo 01 feb 2023, 23:31
door OOOVincentOOO
Helpt dit (via staartdeling):

$$\log\left( \frac{x^4+9}{x^2+9} \right)= \log \left( \frac{(x^2+9)(x^2-9)+90 }{x^2+9} \right) = \log \left( \frac{a+90 }{a} \right) $$

Late avond post dus foutjes kunnen erin zitten. En dan integration by parts?

mmm. foutje ingeslopen te laat om te repareren en geen edit tijd meer :(. Net edit gedaan weet niet of klopt. Snel checken op papier.

Re: integraal

Geplaatst: wo 01 feb 2023, 23:44
door wnvl1
\(x^2-9 + \frac{90}{x^2+9}\)

Maar ik betwijfel dat het helpt.