geometrie

[ukster]

ΔABC
Zwaartelijn AD
Bissectrice BE
AB=7
BC=18
EA=ED
AC=?

[RedCat]

Via directe berekening:
Definieer c=cos(β) en s=sin(β).
Kies B=(0,0), A=(7c, 7s), C=(18,0)
dan is D=(9,0) en E = het snijpunt van de bisectrice door B:

\(\small y=\tan(\beta/2)\cdot x = \frac{\sin(\beta)}{1+\cos(\beta)} \cdot x = \frac{s}{1+c}\cdot x\)

en de lijn door A en C:

\(\small y=\frac{y_A-y_C}{x_A-x_C}(x-x_C) + y_C = \frac{7s}{7c-18}(x-18)\)

Oplossen geeft

\(\small x_E = \frac{126}{25}(1+c)\)

en

\(\small y_E = \frac{126}{25}s\)

Gebruik dan AE = DE:

\(\small (x_E-x_A)^2 + (y_E-y_A)^2 = (x_E-x_D)^2 + (y_E-y_D)^2\)

te vereenvoudigen tot

\(\small x_E(x_D-x_A)-y_E\cdot y_A-16=0\)

en na invullen van bovenstaande waarden op te lossen naar cos β:

\(\small c = \frac{37}{63}\)

Tenslotte is:

\(\small AC = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + y_A^2}\)

\(\small =\sqrt{(18 - 7c)^2 + (7s)^2}\)

\(\small =\sqrt{18^2 - 2\cdot 18\cdot 7c + 7^2c^2 + (7^2-7^2c^2)}\)

\(\small =\sqrt{373-252c} = \sqrt{225} = 15\)

[ukster]

Analytisch heel mooi opgelost.

Deze oplossing is gebaseerd op congruentie, gelijkvormigheid en verhoudingen.

1.png (11.37 KiB) 2966 keer bekeken

2.png (5.85 KiB) 2966 keer bekeken

3.png (4.55 KiB) 2966 keer bekeken