Wortel uit een oneven getal

[efdee]

Geen huiswerk.
Hoe kun je bewijzen, dat de tweedemachtswortel uit een oneven getal nooit even kan zijn?

[wnvl1]

Het kwadraat van een even getal \(2n\) is \(4n^2\) en dat is altijd even.
Daarmee is het bewezen.

[efdee]

Is dat zo?
Het is waar, dat het kwadraat van een even getal altijd even is.
Maar ik heb de grootste moeite met het omkeren van stellingen.
Vaak is dat niet vanzelfsprekend.

[wnvl1]

Stel dat er een even wortel zou uit een oneven getal, dan zou het kwadraat van dat getal even zijn. Maar dat is strijdig met ons uitgangspunt. Dit is volgens mij een bewijs uit het ongerijmde en volstaat om de stelling te bewijzen.

[flappelap]

Geen huiswerk.
Hoe kun je bewijzen, dat de tweedemachtswortel uit een oneven getal nooit even kan zijn?

Stel dat sqrt(2n+1) = 2m met n,m in N. Dan geldt ook 2n+1 = 4m^2. Links is oneven, rechts is altijd even (wat je nog expliciet kunt bewijzen door m^2 te schrijven als 2k of 2k+1 met k in N). Dus je aanname geldt niet.

Edit wat wnvl1 zegt dus.

[HansH]

Stel dat sqrt(2n+1) = 2m met n,m in N. Dan geldt ook 2n+1 = 4m^2. Links is oneven, rechts is altijd even (wat je nog expliciet kunt bewijzen door m^2 te schrijven als 2k of 2k+1 met k in N). Dus je aanname geldt niet.

begrijp ik je nu goed dat je zegt dat tweedemachtswortel uit een oneven getal wel even kan zijn omdat je die voorwaarde gewoon op kunt schrijven zoals je doet? Maar wat is dan de eerste waarde van n waarvoor die oplossing voor m daarwerkelijk in N zit ? ik kom die oplossing in ieder geval niet tegen voor 0<n<10000

[HansH]

voor n>3528 komt m op een afstand van minder dan 0.003 op een natuurlijk getal uit maar nooit helemaal
voor n>7938 komt m op een afstand van minder dan 0.002 op een natuurlijk getal uit maar nooit helemaal
Ik vermoed als je n steeds groter maaakt dat m dan steeds dichter naar een natuurlijk getal nadert maar het nooit helemaal wordt.

[HansH]

hier nog het verschil tussen m en de floor van m
alsdat verschil 0 is heb je een natuurlijk getal.

[HansH]

Stel dat sqrt(2n+1) = 2m met n,m in N. Dan geldt ook 2n+1 = 4m^2. Links is oneven, rechts is altijd even Dus je aanname geldt niet.

die conclusie snap ik niet. 2n+1 = 4m^2 .het enige wat je doet is de eis opstellen waar aan voldaan zou moeten worden, maar de 2e stap is om te checken of aan die eis ook daadwerkelijk voldaan kan worden, dus of er een n te vinden is waarvoor m een natuurlijk getal is. uit mijn analyse volgt dat dat waarschijnlijk niet mogeljk is. Dus je zult dan eerst moeten bewijzen dat het wel mogelijk is.

[HansH]

heelgetalb.gif (3.2 KiB) 2081 keer bekeken

voor een natuurlijk getal kleiner dan 10^7 is er geen getal te vinden wat dichter bij een natuurlijk getal komt dan 10^-5

[EvilBro]

Bewijs uit het ongerijmde: men neemt aan dat de stelling niet waar is en laat zien dat die aanname tot een tegenspraak of een onware bewering leidt.

Veronderstelling: Er is een oneven getal waarvan de tweedemachtswortel even is.
Dit is equivalent met dat er een even getal is waarvan het kwadraat een oneven getal is.
Ofwel, geldt:

\((2 n)^2 = 2 m + 1\)

\(2 (2 n^2) = 2 m + 1\)

Het geheel modulo 2 bekeken geeft:

\(0 = 1 \mod 2\)

Dit is een onwaarheid. De aangenomen veronderstelling leidt dus tot een tegenspraak. Hieruit volgt dus dat de veronderstelling niet waar kan zijn.

Conclusie: Er is geen oneven getal waarvan de tweedemachtswortel even is.

[HansH]

\(2 (2 n^2) = 2 m + 1\)

Het geheel modulo 2 bekeken geeft:

\(0 = 1 \mod 2\)

Dit is een onwaarheid.

het verklaart denk ik ook mooi waarom ik steeds dichter naar een natuurlijk getal kwam hoe groter n werd, maar nooit helemaal.
omdat ik die mod 2 er niet vanaf trok

[RedCat]

voor een natuurlijk getal kleiner dan 10^7 is er geen getal te vinden wat dichter bij een natuurlijk getal komt dan 10^-5

\(\small \sqrt{2n+1} = 2m \;\Rightarrow\; 2n+1 = 4m^2 \;\Rightarrow\; n=2m^2-\frac{1}{2}\)

Voor elke m zijn de n-waarden die dicht bij een natuurlijk getal liggen dus 2m²-1 en 2m².
Als je afstand a definieert als

\(\small a = \frac{\sqrt{2n+1}}{2}-m\)

dan geldt voor n = 2m²:

\(\small a = \frac{\sqrt{4m^2+1}}{2}-m = \sqrt{m^2+\frac{1}{4}} - m\)

en omgekeerd:

\(\small (m+a)^2 = m^2 + \frac{1}{4}\)

\(\small m^2+2ma+a^2 = m^2 + \frac{1}{4}\)

\(\small 2ma= \frac{1}{4}-a^2\)

\(m=\frac{1-4a^2}{8a}\)

of voor kleine a:

\(\small m \approx \frac{1}{8a}\)

Voor a=0.003 vinden we hiermee: m=41.665, waardoor voor a<0.003 geldt: m>=42 en n = 2m² >= 3528
Voor a=0.002 is m=62.499, waardoor voor a<0.002 geldt: m>=63 en n = 2m² >= 7938
Voor a=0.00001 is m=12499.999995, waardoor voor a<0.00001 geldt: m>=12500 en n >= 312500000

Ter controle (voor n=2m²):

\(\small m=12500 \;\Rightarrow\; n= 312500000 \;\Rightarrow\; \frac{\sqrt{2n+1}}{2} = 12500.000009999999996...\)

\(\small m=12499 \;\Rightarrow\; n= 312450002\;\Rightarrow\; \frac{\sqrt{2n+1}}{2} = 12499.000010000800060...\)

Evenzo voor n = 2m² - 1 (=> de net iets kleinere waarde dan een geheel getal).

[HansH]

Ofwel, geldt:

\((2 n)^2 = 2 m + 1\)

\(2 (2 n^2) = 2 m + 1\)

de stap van de eerste naar de 2e vergelijking leg je niet uit. wat is de denkstap daar?

[EvilBro]

\((2 n)^2 = (2 n) \cdot (2 n) = 2 \cdot n \cdot 2 \cdot n = 2 \cdot 2 \cdot n \cdot n = 2 \cdot 2 \cdot n^2 = 2 (2 n^2)\)

De reden om het zo op te schrijven is dat het dan duidelijk is dat dit een even getal is.