Raadsel: precessie schijf

[wnvl1]

Een uniforme schijf met straal R is verbonden met de grond door een massaloze stokje (die loodrecht op de schijf staat) met lengte L. Een rode stip P is op de schijf gemarkeerd. Bedoeling is een uniforme cirkelvormige precessie in te stellen, waarbij de staaf een constante hoek θ maakt met de verticaal, en waarbij P altijd het hoogste punt op de draaiende schijf is.

Aan welke relatie tussen R en L moet er voldaan zijn om deze beweging mogelijk te maken?
Wat is de frequentie van de precessiebeweging, Ω?

[ukster]

klopt dit?

precessie.png (5.91 KiB) 17393 keer bekeken

[ukster]

L=7cm
R=4,5cm
g=9,81
n=6000rpm

θ = 40°
Ω = 0,5315 rad/s
precessieomlooptijd
T = 11,821 sec

[wnvl1]

De gelijkheid

$$R=L\sin\theta$$

zou impliceren dat P zich recht boven het bevestigingspunt met de grond bevindt. Dat is echter geen noodzakelijkheid om bovenstaande beweging te bewerkstelligen. De frequentie is ook niet juist.

Het betreft een raadsel uit het domein van de gyroscopische precessie.

[wnvl1]

HINT 1: Om de gewenste beweging te verkrijgen is het belangrijk om vast te stellen dat elk punt in de schijf in een vaste cirkelbeweging rond de vertikale as moet bewegen. ω staat dus verticaal.

[wnvl1]

HINT 2: Cruciale formule om dit probleem op te lossen is

$$\vec{\tau}=\frac{d\vec{L}}{dt}.$$

\(\tau\) is het moment dat inwerkt op de schijf met staaf en L is het impulsmoment (niet de lengte die ook aangegeduid is met L; het aantal letters in het alfabet is nu eenmaal beperkt).

[wnvl1]

HINT \(\)3: Leg de hoofdassen in de richtingen \(\vec{x_1}\) (in het blad), \(\vec{x_2}\) en\( \vec{x_3}\) zoals op de afbeelding. Bereken de traagheidsmomenten \(I_1\), \(I_2\) en \(I_3\) in deze richtingen en projecteer \(\vec{\omega}\) in deze richtingen. Zo kan je \(\vec{L}\) berekenen en de formule uit hint 2 toepassen.

[wnvl1]

HINT 4: Het traagheidsmoment in de richtingen \(x_1\) en \(x_2\) is
$$I=I_1=I_2=ML^2+\frac{MR^2}{4}.$$
Het traagheidsmoment in de richting \(x_3\) is
$$I_3= \frac{MR^2}{2}.$$
Nu \(\vec \omega\) projecteren op de 3 hoofdrichtingen en \(\vec{L}\) berekenen. Dan moet het lukken om het raadsel op te lossen.

[wnvl1]

HINT 5:
Volgende stap is dus \(\vec \omega\) projecteren op de hoofdassen
$$\omega_2=\Omega \sin \theta$$
$$\omega_3=\Omega \cos \theta$$

met \(\Omega\) de precessiefrekwentie (wordt in het algemeen aangeduid met hoofdletter in de theorie van gyroscopen).

Nu je I en \(\vec{\omega}\) hebt, kan je \(\vec{L}\) uitrekenen.

[wnvl1]

HINT 6:
$$\vec{L}=I_2\Omega \sin \theta \vec{x_2} + I_3 \Omega \cos \theta \vec{x_3}$$


Bereken nu de horizontale component van \(\vec{L}\). Deze horizontale component draait rond de verticale as met frequentie \(\Omega\).
Gebruik dit in de formule uit hint 2.

[wnvl1]

HINT 7: De horizontale component van L is

$$L_{hor}=L_3\sin\theta - L_2\cos\theta=(I_3-I)\Omega(\cos\theta-\sin\theta)$$

Vooruit wetenschapsforum, wat meer enthousiasme. Het is echt een mooie oefening.
Probeer nu |dL/dt| te berekenen.

[wnvl1]

HINT 8

$$|dL/dt|=L_{hor}\Omega=(I_3-I)\Omega^2(\cos\theta-\sin\theta)$$

|dL/dt| stel je gelijk aan het koppel van het gewicht dat werkt.

Echt niet moeilijk nu.

[wnvl1]

HINT 9:

Het koppel veroorzaakt door het gewicht van de schijf rond het steunpunt is \(MgL\sin\theta\).
Dit koppel stel je nu gelijk aan |dL/dt|. Hopelijk lukt de laatste stap nu.

ps Ik vind het een leuk raadsel omdat het eens iets anders is dan behoud van energie, statisch evenwicht of de tweede wet van Newton.

[wnvl1]

Helaas heeft niemand het gevonden. Ofwel zal het te moeilijk zijn, ofwel vond niemand het een leuk raadsel. Hier de oplossing.

$$|dL/dt|=MgL\sin\theta$$

$$(I_3-I)\Omega^2(\cos\theta-\sin\theta)=MgL\sin\theta$$
$$\Omega = \sqrt{\frac{MgL\sin\theta}{(I_3-I)(\cos\theta-\sin\theta)}}$$
$$\Omega = \sqrt{ \frac{4gL}{ (R^2-4L^2)\cos\theta } }$$

Voorwaarde is dus dat R>2L.