elektrische ladingen

[ukster]

Een deeltje met lading Q = + 10^-5 C is vast opgesteld.
Een tweede deeltje met massa m = 0,01 g en lading q = + 10^-7 C op oneindige afstand van Q, krijgt een
snelheid v₀ = 200 m/s in de aangegeven richting op d = 10 cm

ladingen.png (5.38 KiB) 10774 keer bekeken

a) Wat is de kleinste afstand tussen de twee ladingen.
b) Wat zou de waarde van d moeten zijn als de eindsnelheid van de bewegende lading
loodrecht staat op de snelheid v₀?
c) Eindsnelheid en de kleinste afstand tussen de twee ladingen voor de d-waarde uit vraag b

[efdee]

q wordt hyperbolisch 'naar boven afgebogen'.
a)
Tijdens het naderen neemt v af
Na de kleinste afstand neemt de snelheid (asymptotisch) toe.
Bij de kleinste afstand is v en daarmee de kinetische energie minimaal
De elektrische energie is dan maximaal.
WvBvEnergie toepassen.

[wnvl1]

Volgens mij kom je er niet met de wet van behoud van energie. Het is niet gezegd dat de snelheid terugvalt op nul.

[wnvl1]

Code: Selecteer alles

from scipy.integrate import odeint
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def dXdt(Z, t):
    k = 8.99 * 10**9
    q = 10**(-7)
    Q = 10**(-5)
    m = 10**(-5)
    x, dxdt, y, dydt = Z
    return [dxdt, k*q*Q*x/(m*(x**2+y**2)**1.5), dydt, k*q*Q*y/(m*(x**2+y**2)**1.5)]

# values at time 0
x_0 = -200
dxdt_0 = 200
y_0 = 0.1
dydt_0 = 0

# Vector of independent variable
t = np.linspace(0, 10, 10**7)

# Solution
sol = odeint(dXdt, (x_0, dxdt_0, y_0, dydt_0), t)

x_list = [i[0] for i in sol]
y_list = [i[2] for i in sol]

plt.style.use('_mpl-gallery')

# plot
fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(x_list, y_list, markeredgewidth=2)
ax.set(xlim=(-1, 1), ylim=(-1, 2))

plt.show()

distances = [(x**2 + y**2)**0.5 for x, y in zip(x_list, y_list)]
print(min(distances))

12.49 cm is de kortste afstand, denk ik.

Ik begin te rekenen vanaf 200m afstand en ik reken in stappen van 10**-6s.

[wnvl1]

Achteraf maak ik me wel de bedenking dat het impulsmoment behouden blijft. Dat gaat leiden tot een analytische oplossing.

[wnvl1]

Dit leidt inderdaad tot een veel snellere oplossing.

Code: Selecteer alles

from sympy import * 

k, q, Q, m, d, v0, vmin, dmin = symbols("k, q, Q, m, d, v0, vmin, dmin")

k = 8.99 * 10**9
q = 10**(-7)
Q = 10**(-5)
m = 10**(-5)
d = 0.1
v0 = 200

eq1 = Eq(m*v0*d, m*vmin*dmin) 
eq2 = Eq(m*v0**2/2,m*vmin**2/2+k*Q*q/dmin) 

solve([eq1,eq2], dict=True)

{dmin: 0.124969515097150, vmin: 160.039030194301}

De oplossing is wel dezelfde.

[wnvl1]

De eindsnelheid in c zou terug 200m/s moeten zijn.

[ukster]

Dit leidt inderdaad tot een veel snellere oplossing.
De oplossing is wel dezelfde.

klopt!
met behoud van impulsmoment:

rmin en vmin.png (4.69 KiB) 10433 keer bekeken

[wnvl1]

Is er voor b ook een eenvoudige oplossing? Numeriek zou het wel lukken, maar ik zag niet direct een eenvoudige analytische oplossing.

[wnvl1]

Numeriek kom ik op iets rond de 25cm voor b.

Code: Selecteer alles

def dZdt(Z, t):
    k = 8.99 * 10**9
    q = 10**(-7)
    Q = 10**(-5)
    m = 10**(-5)
    x, dxdt, y, dydt = Z
    return [dxdt, k*q*Q*x/(m*(x**2+y**2)**1.5), dydt, k*q*Q*y/(m*(x**2+y**2)**1.5)]

def bereken_hoek(d):
    # values at time 0
    x_0 = -200
    dxdt_0 = 200
    y_0 = d
    dydt_0 = 0
    
    # Vector of independent variable
    t = np.linspace(0, 10, 10**6)
    
    # Solution
    sol = odeint(dZdt, (x_0, dxdt_0, y_0, dydt_0), t)
    
    x_list = [i[0] for i in sol]
    y_list = [i[2] for i in sol]
    
    return np.arctan(y_list[-1]/x_list[-1])

# Vector of independent variable
d = np.linspace(0, 0.1, 50)
hoek_list = list(map(bereken_hoek, d))
hoek_list

# plot
fig, ax = plt.subplots()
ax.set_xlabel("d")
ax.set_ylabel("hoek in rad")


ax.plot(d, hoek_list, markeredgewidth=2)

plt.show()

[wnvl1]

2.5cm bedoelde ik.

[ukster]

In de formule voor r_min is de term kqQ/(mv₀²) de lengte van de halflange as en d de lengte van de half normale as van de hyperbool. De asymptoten van de hyperbool staan loodrecht op elkaar als de lengte van de halflange as gelijk is aan de lengte van de half normale as, dus als d=kqQ/(mv₀²)=0,0225m. Dit ingevuld geeft: r_min=0,05432m en v_min=82,842m/s