schermbeeld

[ukster]

Stel, je plaatst 4 objecten achter elkaar op een centrale as op 4dm afstand van elkaar. Een puntlichtbron (O), een divergerende lens met brandpuntafstand -4dm, een convergerende lens met brandpuntafstand +4dm en een concave spiegel met brandpuntafstand 8dm. De diameter d van de lenzen en de spiegel is 2dm. De puntlichtbron wordt vervolgens loodrecht op de centrale as verplaatst. Wat moet de verplaatsing x zijn als het beeld op een scherm moet worden vastgelegd?

[wnvl1]

Deze staat al lang hopen en moet nog opgelost worden. Helaas ben ik niet zo goed in optica.

Is dit wat er bedoeld wordt?

[Xilvo]

Is dit wat er bedoeld wordt?

Volgens mij heb je de twee lenzen verwisseld.
Waar het scherm moet staan is mij niet duidelijk maar ik vermoed niet op de plaats waar jij het getekend hebt.

[wnvl1]

Klopt, de lenzen moeten gewisseld worden. Het scherm mag ik zetten waar ik wil als ik de vraag juist begrijp.

[Xilvo]

Het scherm mag ik zetten waar ik wil als ik de vraag juist begrijp.

Maar als je het achter de spiegel plaats, dan heeft die spiegel geen functie meer anders dan alle licht binnen een straal van 1 dm blokkeren.

[wnvl1]

Voor het berekenen van het beeld als het voorwerp niet op de centrale as ligt, kan ik dan nog altijd de formule
$$\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{b}$$
toepassen met v en b de afstand geprojecteerd op de centrale as?

Dus voor de eerste divergerende lens

$$\frac{1}{-4} = \frac{1}{4} + \frac{1}{b}$$

Alles uitgedrukt in dm. Of met welke formule moet ik die x verrekenen?

[Xilvo]

Voor het berekenen van het beeld als het voorwerp niet op de centrale as ligt, kan ik dan nog altijd de formule
$$\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{b}$$
toepassen met v en b de afstand geprojecteerd op de centrale as?

Ja.

Alles uitgedrukt in dm. Of met welke formule moet ik die x verrekenen?

Volgens mij met de vergroting \(-\frac{b}{v}\)

[wnvl1]

Groene bol is na de eerste divergerende lens.
Rood is het beeld na de tweede convergerende lens.
Geel is na de spiegel.

Maar ik denk dat ik iets verkeerd doe.

[ukster]

Het klopt wel!
Het uiteindelijke beeld wordt dus gevormd in het vlak van de convergerende lens, daarom kan het beeld alleen worden opgevangen op het scherm als de hoogte groter is dan de straal van de lens.
Dit gebeurt wanneer x>d (1e voorwaarde voor de loodrechte verplaatsing). Als x toeneemt verder dan 1,5d zullen alle stralen onder de holle spiegel doorgaan, en er zal geen beeldvorming plaatsvinden. Daarom is de oplossing van het probleem: d < x < 1.5 d

[wnvl1]

Leuk dat ik toch nog bijna juist was. Maar als x zo groot is, geldt

$$\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{b}$$

dan nog wel? Hier lijkt de afwijking mij wel heel groot.

Chatgpt heeft ook haar bedenkingen.

De lensformule wanneer een object niet op de centrale optische as staat, vereist een aangepaste benadering, omdat de gebruikelijke lensvergelijking (\(\frac{1}{f} = \frac{1}{v} + \frac{1}{b}\)) alleen geldt voor de centrale as. Wanneer een lichtstraal schuin op de lens valt, moet je rekening houden met zowel de positie als de hoek waarmee de lichtstralen door de lens gaan.

De wet van Snellius blijft van toepassing op elke lichtstraal die door de lens gaat, maar de projectie wordt gecompliceerder door de schuine invalshoek. De lensformule kan niet eenvoudig worden aangepast voor niet-axiale stralen zonder gebruik te maken van geavanceerde optische principes zoals *ray tracing* of *paraxiale benadering*.

Een manier om dit op te lossen is via de *afbuigingshoek* van de lichtstraal. Voor kleine hoeken wordt vaak aangenomen dat de lichtstralen dichtbij de centrale as blijven, wat de *paraxiale benadering* genoemd wordt. In dat geval kunnen we de standaard lensformule toepassen, aangevuld met een correctie voor de schuine lichtstralen.

De algemene lensvergelijking voor schuin invallende lichtstralen houdt rekening met zowel de positie van de straal op de lens als de hoek waarin de straal invalt. Dit leidt tot wat bekend staat als de *off-axis aberraties*, zoals:
- **Coma** (asymmetrische vervorming)
- **Astigmatisme**
- **Veldkromming**

### Samenvattend:

- **Voor stralen dicht bij de as**: De standaard lensformule blijft geldig.
- **Voor stralen ver van de centrale as**: Complexere optische formules zoals die voor aberraties en ray tracing zijn nodig.

Heb je een specifieke situatie of berekening waarin je geïnteresseerd bent? Dan kan ik die gedetailleerder uitleggen.