touw

[ukster]

g=9,81m/s²

touw.png (9.78 KiB) 10960 keer bekeken

Wat is de massa van het touw en waar ligt het zwaartepunt.

[Xilvo]

Is dit op te lossen?
De verticale component van de spanning in het touw bij het aanhechtingspunt moet gelijk zijn aan de zwaartekracht, g.M.
De horizontale component op die plaats is 20 N.
De verhouding wordt bepaald door de (tangens van de) hoek bij het aanhechtingspunt. Maar die hoek kan verschillenden waardes aannemen. En daarmee de massa ook.

[ukster]

De verhouding wordt bepaald door de (tangens van de) hoek bij het aanhechtingspunt. Maar die hoek kan verschillenden waardes aannemen. En daarmee de massa ook.

In de tekening niet

[efdee]

Het gemiddelde van een continue variabele bepaal je met een integraal.
In dit geval mbv het oppervlak onder het touw.
Numeriek integreren?

[wnvl1]

Een eerste aanzet.

De vergelijking van een kettingfunctie is acosh(x/a).

Ik stel de breedte van de ketting op de figuur gelijk aan L.

De coördinaat van het punt met de 20N is (0, a).
De coördinaat van het ophangpunt is (L, acosh(L/a))

Ik bereken nu de x-coördinaat van het zwaartepunt.

$$x_c = \int_0^L x \sqrt{1 + sinh^2(x/a) }dx$$

$$x_c = L a \sinh{\left(\frac{L}{a} \right)} - a^{2} \cosh{\left(\frac{L}{a} \right)} + a^{2}$$

[Xilvo]

De verticale component van de kracht bij het ophangpunt is g.M, de horizontale component is uiteraard 20 N.
Als de hoek met de horizontaal bekend is (ongeveer 60 graden, aan de tekening te zien) dan is de massa direct te berekenen.

[wnvl1]

En de lengte van de ketting die is

$$l_{ketting}= \int_0^L \sqrt{1 + sinh^2(x/a) }dx=\sinh{\left(\frac{L}{a} \right)}$$

[wnvl1]

Is dit op te lossen?
De verticale component van de spanning in het touw bij het aanhechtingspunt moet gelijk zijn aan de zwaartekracht, g.M.
De horizontale component op die plaats is 20 N.
De verhouding wordt bepaald door de (tangens van de) hoek bij het aanhechtingspunt. Maar die hoek kan verschillenden waardes aannemen. En daarmee de massa ook.

Ik heb het zelf nog niet helemaal door, maar het feit dat het om een kettinglijn gaat, zou voor een verband kunnen zorgen dat je in de redenering hierboven niet gebruikt.

[Xilvo]

Je zal de formules voor kettinglijnen nodig hebben om het zwaartepunt te bepalen, voor de massa zelf moet wat ik hierboven schreef voldoende zijn
Is de hoek bij het aanhechtingspunt niet bekend, dan kom je ook met de formules voor kettinglijnen niet tot een eenduidige waarde voor de massa.

[wnvl1]

Een verband dat moet gelden is het momentenevenwicht bekeken vanuit het ophangpunt

$$\mu g l_{ketting}(L- x_c) = 20N \cdot (acosh(L/a)-a)$$

met \(\mu\) de massa per lengteeenheid van de ketting.

[wnvl1]

Onbekenden die ik heb zijn: L,\( \mu\), a.

Ik heb het momenten evenwicht en de horizontale kracht als vergelijkingen.
Ik vermoed dat je dan inderdaad een vergelijking te kort hebt.

[wnvl1]

En de lengte van de ketting die is

$$l_{ketting}= \int_0^L \sqrt{1 + sinh^2(x/a) }dx=\sinh{\left(\frac{L}{a} \right)}$$

correctie

$$l_{ketting}= \int_0^L \sqrt{1 + sinh^2(x/a) }dx=a\sinh{\left(\frac{L}{a} \right)}$$

[Xilvo]

$$l_{ketting}= \int_0^L \sqrt{1 + sinh^2(x/a) }dx=a\sinh{\left(\frac{L}{a} \right)}$$

Klopt.
En de tangens van de hoek bij het aanhechtingspunt is \(\sinh \frac{x}{a}\), met uiteraard \(x=L\)

Dan vind je \(\frac{g M}{20}=\frac{L}{a}\)

[ukster]

Welke strategie zou een Mbo’er toepassen om dit vraagstukje op te lossen?

[wnvl1]

1) Het vragen aan Chatgpt? Maar dat is wat lastig met die figuur.

2) De wetten van Newton. De som van de krachten is nul en de som van de momenten is nul toepassen. De kettinglijn geeft bovendien een formule voor het zwaartepunt.