Pagina 1 van 1
[Wiskunde]Booglengte.
Geplaatst: di 13 jun 2006, 21:28
door Bert F
Als we de booglengte berekenen dan kunnen we schrijven
\((\frac{dx}{dt})^2+ (\frac{dy}{dt})^2\)
nu kunnen we beschouwen
\(\frac{dx}{dt}=\frac{d\rho}{dt}\cos\theta -\rho s\inth\eta \frac{d\theta}{dt}=A \)
\( \frac{dy}{dt}=\frac{d\rho}{dt}s\inth\eta+\rho\cos\theta\frac{d\theta}{dt} =B\)
nu zou ik denken dat de booglente in parameter voorstelling gewoon
\(A^2+B^2\)
is
waarom is dat niet? Groeten
Re: [Wiskunde]Booglengte.
Geplaatst: di 13 jun 2006, 21:42
door TD
Je moet duidelijker zijn, je vergeet bvb het verband tussen (x,y) en (rho,theta) mee te geven, al blijken dat poolcoördinaten.
De booglengte wordt gegeven door de integraal van de vierkantswortel van de uitdrukking die je als eerste geeft, geïntegreerd naar t tussen de juiste grenzen. Dat is al iets heel anders!
Re: [Wiskunde]Booglengte.
Geplaatst: di 13 jun 2006, 21:50
door Bert F
De booglengte wordt gegeven door de integraal van de vierkantswortel van de uitdrukking die je als eerste geeft
klopt maar ik ben vooral geinterseerd in de differentiaal vorm van de booglengte daaruit kan ik dan dergerlijk afleiden dus:
\(\int\sqrt{\frac{dx}{dt}^2+\frac{dy}{dt}^2}\)
nu
\(x=\rho \cos\theta\)
en
\(y=\rho s\inth\eta\)
dan kan ik
\( dx \)
en
\(dy\)
berekenen en dan invullen.
maar het blijkt niet juist te zijn en het zou moeten zijn
\(\int\sqrt{\frac{d\rho}{dt}^2+\rho^2\frac{d\theta}{dt}^2}\)
van waar komt die
\( \rho^2\)
ps sorry voor slordigheid. Groeten.
Re: [Wiskunde]Booglengte.
Geplaatst: di 13 jun 2006, 21:54
door TD
Reken je A²+B² eens uit, let wel: er stonden een paar kleine foutjes in je notatie (ontbrekende rho en cosinus).
Re: [Wiskunde]Booglengte.
Geplaatst: di 13 jun 2006, 22:42
door Bert F
ik ben er aan begonnen maar het wordt te laat kun je me zeggen waar ik moet op letten? ga ik er zo komen? Groeten.
Re: [Wiskunde]Booglengte.
Geplaatst: di 13 jun 2006, 22:49
door TD
Het is gewoon (makkelijk) rekenwerk. Ik gebruik (r,a) ipv (rho, theta), dat werkt sneller.
We hadden:
\(\frac{{dx}}{{dt}} = \frac{{dr}}{{dt}}\cos a - r\sin a\frac{{da}}{{dt}}\)
en
\(\frac{{dy}}{{dt}} = \frac{{dr}}{{dt}}\sin a + r\cos a\frac{{da}}{{dt}}\)
Dus:
\(\left( {\frac{{dx}}{{dt}}} \right)^2 + \left( {\frac{{dy}}{{dt}}} \right)^2 = \left( {\frac{{dr}}{{dt}}\cos a - r\sin a\frac{{da}}{{dt}}} \right)^2 + \left( {\frac{{dr}}{{dt}}\sin a + r\cos a\frac{{da}}{{dt}}} \right)^2 \)
Uitwerken van de kwadraten in het rechterlid:
\(\left( {\frac{{dr}}{{dt}}} \right)^2 \cos ^2 a - 2r\cos a\sin a\frac{{dr}}{{dt}}\frac{{da}}{{dt}} + r^2 \sin ^2 a\left( {\frac{{da}}{{dt}}} \right)^2 + \left( {\frac{{dr}}{{dt}}} \right)^2 \sin ^2 a + 2r\cos a\sin a\frac{{dr}}{{dt}}\frac{{da}}{{dt}} + r^2 \cos ^2 a\left( {\frac{{da}}{{dt}}} \right)^2 \)
De gemengde termen hebben een tegensteld teken en vallen weg:
\(\left( {\frac{{dr}}{{dt}}} \right)^2 \cos ^2 a + r^2 \sin ^2 a\left( {\frac{{da}}{{dt}}} \right)^2 + \left( {\frac{{dr}}{{dt}}} \right)^2 \sin ^2 a + r^2 \cos ^2 a\left( {\frac{{da}}{{dt}}} \right)^2 \)
Buitenbrengen van de afgeleiden en r²:
\(\left( {\frac{{dr}}{{dt}}} \right)^2 \left( {\cos ^2 a + \sin ^2 a} \right) + r^2 \left( {\frac{{da}}{{dt}}} \right)^2 \left( {\cos ^2 a + \sin ^2 a} \right)\)
Maar door de grondformule van de goniometrie vereenvoudigt dit tot:
\(\left( {\frac{{dr}}{{dt}}} \right)^2 + r^2 \left( {\frac{{da}}{{dt}}} \right)^2 \)
Voila!
Re: [Wiskunde]Booglengte.
Geplaatst: wo 14 jun 2006, 18:53
door Bert F
het is idd te eenvoudig voor woorden zie het bedankt.
Re: [Wiskunde]Booglengte.
Geplaatst: wo 14 jun 2006, 20:05
door TD
Graag gedaan.