[microcursus] rekenen met breuken

Gesloten
Gebruikersavatar
Berichten: 24.497

[microcursus] rekenen met breuken

Er is ook een volledig overzicht van alle cursussen, FAQ's en handleidingen .


Als je van deze cursus gebruik maakt, willen we je vriendelijk vragen te laten weten wat je er van vond:
  • Geef eventuele foutjes aan;
  • Zijn de onderdelen soms onduidelijk, of net erg helder?
  • Ontbreken er volgens jou stukken, of heb je suggesties?
  • ...
Reageren kan in vragen en opmerkingen over de cursus en/of de oefenopgaven. We wensen je veel plezier en succes met cursus.


---------------------------------------------------------------------------------------

[microcursus]REKENEN MET BREUKEN


Auteur: TD


Deze microcursus wil de beginner laten kennismaken met breuken en de manier waarop je ermee kan rekenen.

Wie al weet wat breuken zijn, maar enkel moeite heeft met het rekenen, kan de eerste twee hoofdstukken overslaan.


De volgende kleuren worden gebruikt om belangrijke delen aan te duiden:

- nieuwe benamingen komen in het groen.

- belangrijke regels om te onthouden in het blauw.

- mogelijke gevaren komen als Let op! in het rood.

- in het oranje worden voorbeelden aangekondigd.


1: Wat zijn breuken?


Met breuken kan je getallen voorstellen die niet geheel zijn.

In de afbeelding hieronder zijn vier taarten te zien met telkens een aangeduid stuk in het grijs.


Afbeelding


De eerste taart is volledig, het is 1 taart.

Bij de tweede taart is maar de helft grijs, we hebben een halve taart.

Zo hebben we bij nummer drie een kwart taart en bij vier hebben we drie kwart.


We gaan nu een andere manier leren om dit wiskundig op te schrijven.

In de tweede taart zijn er in het totaal 2 gelijke stukken, waarvan er 1 grijs is.


We kunnen dit ook met een deling schrijven: we delen 1 door 2 en schreven dit vroeger als 1:2 of 1÷2.

In de nieuwe manier van schrijven gebruiken we een horizontale streep, met het eerste getal bovenaan en het tweede getal onderaan:
\(\frac{1}{2}\)
.


Bij de derde taart waren er 4 gelijke stukken, waarvan 1 grijs. We schrijven
\(\frac{1}{4}\)
en zeggen "één vierde".

Bij de vierde taart waren er 4 gelijke stukken, waarvan 3 grijs. We schrijven
\(\frac{3}{4}\)
en zeggen "drie vierde".


Zo'n getal noemen we een breuk, het bovenste getal heet de teller, het onderste de noemer.

De noemer noemt het aantal gelijke stukken waarin één hele taart is verdeeld, de teller telt hoeveel van die stukken er ook werkelijk zijn.


Let op! Het moeten gelijke stukken zijn, als de stukken niet even groot zijn, klopt het verhaal niet meer!


Algemeen: als a en b getallen zijn, dan \noteren we de breuk met teller a en noemer b als
\(\frac{a}{b}\)
.


Andere manier van schrijven voor dezelfde breuk, die hierna nog gebruikt zal worden: a/b

Zo een breuk stelt een verhouding voor van de twee getallen a en b.


Let op! Je mag niet delen door 0, dus mag de noemer (b) nooit gelijk zijn aan 0.


Op een getallenas kunnen we zo tussen gehele getallen, ook breuken plaatsen:


Afbeelding


2: Gelijke breuken


We gaan terug naar onze vier taarten, maar nu zijn er andere stukken grijs aangeduid.


Afbeelding


De eerste taart blijft 1, of als breuk: 1/1. De tweede is nog steeds een halve taart, ge\noteerd 1/2.

Bij de derde zijn nu 2 van de 4 stukken grijs, als breuk: 2/4. Maar, dit is natuurlijk ook een halve taart!

Bij de vierde zijn nu 4 van de 4 stukken grijs, als breuk: 4/4. Dit is nu hetzelfde als de eerste taart: een hele taart!


Wat besluiten we hieruit? De volgende breuken zijn gelijk:
\(1 = \frac{1}{1} = \frac{4}{4}\)
en
\(\frac{1}{2} = \frac{2}{4}\)

Dit is ook logisch: een breuk was een deling van twee getallen en stelde hun verhouding voor.

Als die verhoudingen gelijk zijn, dan zijn ook de breuken gelijk.

Of je nu 12 van de 24 knikkers neemt, 3 van de 6 stukken taart, 50 van de 100 muntjes; het is telkens precies de helft:

\(\frac{{12}}{{24}} = \frac{3}{6} = \frac{{50}}{{100}} = \frac{1}{2}\)

Natuurlijk hoeft dit niet altijd de helft te zijn, als de verhoudingen maar gelijk zijn.

Zo is 1/4 ook gelijk aan 2/8, want als je een taart in 8 stukken verdeelt en je neemt er 2, dan heb je één vierde van de taart.


3: Optellen en aftrekken


Optellen

We nemen twee taarten, duiden enkele stukken aan en tellen dit op:


Afbeelding


Het is duidelijk dat een halve taart samen met één vierde, een totaal van drie vierde stukken geeft:

\(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\)

Om te zien waarom dit zo is, verdelen we ook de eerste taart in vier stukken:


Afbeelding


In taart 1 zijn nu 2 van de 4 stukken grijs, zoals we weten is 1/2 hetzelfde als 2/4, een halve taart.

Nu alle taarten in evenveel stukken verdeeld zijn (namelijk 4), kunnen we de grijze stukken (2 en 1) gewoon optellen.

\(\frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{{2 + 1}}{4} = \frac{3}{4}\)

Regel: om twee breuken met gelijke noemers op te tellen, moet je de tellers optellen en de noemer behouden.

\(\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{{a + b}}{c}\)

Voorbeeld

Je wil een ideaal voetbalteam samenstellen uit de verschillende voetbalploegen in de competitie.

Je wil één keeper, drie verdedigers, vijf middenvelders en twee aanvallers.

De verdedigers haal je uit een elftal met de beste verdediging, de aanvallers uit een ander elftal met de sterkste aanval enz.


Zo zit je met:

- een keeper: 1/11 van een heel elftal

- drie verdedigers: 3/11 van een heel elftal

- vijf middenvelders: 5/11 van een heel elftal

- twee aanvallers: 2/11 van een heel elftal


Volgens onze optelregel vinden we dan een totaal van:

\(\frac{1}{{11}} + \frac{3}{{11}} + \frac{5}{{11}} + \frac{2}{{11}} = \frac{{1 + 3 + 5 + 2}}{{11}} = \frac{{11}}{{11}} = 1\)

En dat is natuurlijk precies één volledig elftal!


Aftrekken

Om het verschil van twee breuken te maken, doe je precies hetzelfde, dus:

\(\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{{a - b}}{c}\)

In feite is aftrekken dan ook niets aparts, de tellers mogen ook negatieve getallen zijn:

\(\frac{{ - a}}{c} + \frac{{ - b}}{c} = \frac{{\left( { - a} \right) + \left( { - b} \right)}}{c} = \frac{{ - a - b}}{c} = \frac{{ - \left( {a + b} \right)}}{c}\)

Het minteken dat nu voor de hele teller staat, mag ook voor de volledige breuk geplaatst worden.

Algemener: een minteken voor een hele breuk, mag ook naar de teller of noemer verhuizen, en omgekeerd:

\( - \frac{a}{b} = \frac{{ - a}}{b} = \frac{a}{{ - b}}\)

Voorbeeld

\(\frac{7}{3} - \frac{2}{3} = \frac{{7 - 2}}{3} = \frac{5}{3}\)

Verschillende noemers

Als we breuken met verschillende noemers willen optellen, moeten we eerst de noemers gelijk maken.


Regel: een breuk blijft gelijk als je teller en noemer met hetzelfde getal (maar niet 0) vermenigvuldigt.

\(\frac{a}{b} = \frac{{a \times c}}{{b \times c}} = \frac{{a \cdot c}}{{b \cdot c}}\)

Voorbeelden

\(\frac{1}{2} = \frac{{1 \times 2}}{{2 \times 2}} = \frac{2}{4} , \frac{1}{2} = \frac{{1 \times 4}}{{2 \times 4}} = \frac{4}{8} , \frac{3}{4} = \frac{{3 \times 2}}{{4 \times 2}} = \frac{6}{8}\)

Stel dat we 1/2 en 2/3 willen optellen, helaas hebben deze nog een verschillende noemer.

We moeten ze eerst op gelijke noemer zetten en kunnen hiervoor gebruik maken van de laatste regel.


Om een geschikte noemer te vinden, gaan we op zoek naar gemeenschappelijke veelvouden van de twee noemers.

Een eenvoudig voorbeeld daarvan is hun product, hier is dat
\(2 \times 3 = 6\)

Soms krijg je zo grote getallen, je kan dan op zoek gaan naar het kleinst gemeen veelvoud (kgv) van de noemers.


Als we dit toepassen op ons voorbeeld van 1/2 en 2/3 door over te gaan op noemer 6, dan krijgen we:

\(\frac{1}{2} + \frac{2}{3} = \frac{{1 \times 3}}{{2 \times 3}} + \frac{{2 \times 2}}{{3 \times 2}} = \frac{3}{6} + \frac{4}{6} = \frac{3+4}{6} = \frac{7}{6}\)

Breuken op gelijke noemers brengen, heet het gelijknamig maken van breuken.


Voorbeelden

\(\frac{2}{3} + \frac{1}{7} = \frac{{2 \times 7}}{{3 \times 7}} + \frac{{1 \times 3}}{{7 \times 3}} = \frac{{14}}{{21}} + \frac{3}{{21}} = \frac{{14+3}}{{21}} = \frac{{17}}{{21}}\)
\(\frac{3}{4} + \frac{1}{6} = \frac{{3 \times 3}}{{4 \times 3}} + \frac{{1 \times 2}}{{6 \times 2}} = \frac{9}{{12}} + \frac{2}{{12}} = \frac{{9+2}}{{12}} = \frac{{11}}{{12}}\)
\(\frac{5}{8} - \frac{1}{6} = \frac{{5 \times 3}}{{8 \times 3}} - \frac{{1 \times 4}}{{6 \times 4}} = \frac{{15}}{{24}} - \frac{4}{{24}} = \frac{{15-4}}{{24}} = \frac{{11}}{{24}}\)
\(\frac{2}{7} - \frac{1}{2} = \frac{{2 \times 2}}{{7 \times 2}} - \frac{{1 \times 7}}{{2 \times 7}} = \frac{4}{{14}} - \frac{7}{{14}} = \frac{{4 - 7}}{{14}} = \frac{{ - 3}}{{14}} = - \frac{3}{{14}}\)

4: Vermenigvuldigen


Je kan een breuk vermenigvuldigen met een geheel getal, of met een andere breuk.


Breuk vermenigvuldigen met een geheel getal

Stel we hebben een kwart taart, 1/4 dus. We eten er zo drie, dus drie keer 1/4.


Afbeelding


Met behulp van de optelregel kunnen we dit ook berekenen:

\(3 \times \frac{1}{4} = \underbrace {\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}}_{3 \,\, \rm{te\rmen}} = \frac{3}{4}\)

Als we de middelste stap nu even weglaten, dan zien we het volgende:

\(3 \times \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\)

Blijkbaar moeten we de noemer laten staan en de teller met dat getal vermenigvuldigen.


Regel: om een breuk te vermenigvuldigen met een geheel getal, moet je de teller met dat getal vermenigvuldigen

\(a \times \frac{b}{c} = \frac{{a \times b}}{c} = \frac{{a \cdot b}}{c}\)

Voorbeelden

\(4 \times \frac{2}{7} = \frac{{4 \times 2}}{7} = \frac{8}{7}\)
\(5 \times \frac{{ - 3}}{{21}} = \frac{{5 \times \left( { - 3} \right)}}{{21}} = \frac{{ - 15}}{{21}} = - \frac{{ 15}}{{21}}\)
\( - 2 \times \frac{7}{{11}} = \frac{{ - 2 \times 7}}{{11}} = \frac{{ - 14}}{{11}} = - \frac{{14}}{{11}}\)

Breuk vermenigvuldigen met een andere breuk

Wat gebeurt er als je een getal deelt door 1? Inderdaad: niets, het getal blijft hetzelfde.


Gevolg: een geheel getal x kan je ook schrijven als breuk, namelijk:
\(\frac{x}{1}\)
.


Als we een taart in acht stukken verdelen en er eerst drie nemen, dat is 3/8.

Stel, we nemen het dubbel, dat is vermenigvuldigen we met 2. Dit kennen we:

\(2 \times \frac{3}{8} = \frac{6}{8}\)

Maar we hebben net gezien dat we 2 ook kunnen schrijven als 2/1, dus:

\(\frac{2}{1} \times \frac{3}{8} = \frac{6}{8}\)

We zien dat ook de nieuwe teller, het product is van de twee oude tellers, want
\(2 \times 3 = 6\)

De noemer, die 8 bleef, is ook het product van beide noemers, namelijk
\(1 \times 8 = 8\)
.


Dit zal altijd zo zijn, vandaar dat we de volgende regel krijgen:


Regel: om twee breuken te vermenigvuldigen, moet je de tellers vermenigvuldigen en de noemers vermenigvuldigen

\(\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{{a \times c}}{{b \times d}} = \frac{{a \cdot c}}{{b \cdot d}}\)

Voorbeelden

\(\frac{1}{3} \times \frac{4}{7} = \frac{{1 \times 4}}{{3 \times 7}} = \frac{4}{{21}}\)
\(\frac{{ - 2}}{5} \times \frac{4}{3} = \frac{{ - 2 \times 4}}{{5 \times 3}} = \frac{{ - 8}}{{15}} = - \frac{8}{{15}}\)
\( - \frac{{11}}{3} \times \frac{2}{{ - 3}} = \frac{{11}}{{ - 3}} \times \frac{2}{{ - 3}} = \frac{{11 \times 2}}{{\left( { - 3} \right) \times \left( { - 3} \right)}} = \frac{{22}}{9}\)

5: Delen


Het delen van breuken lijkt erg veel op de vermenigvuldiging, er is niets moeilijks aan.

Voordat we de regel voor het delen van breuken gaan leren, zien we eerst iets nieuws.


Omgekeerde van een breuk

Het omgekeerde van een breuk is de breuk die je krijgt door teller en noemer om te wisselen

\(\frac{a}{b} \mathop \to \limits^{\rm{om\keren}} \frac{b}{a}\)

Voorbeelden

\(\frac{3}{7} \mathop \to \limits^{\rm{om\keren}} \frac{7}{3}\)
\(- \frac{2}{5} \mathop \to \limits^{\rm{om\keren}} - \frac{5}{2}\)

Breuk delen door een breuk

Nu we weten wat het omkeren van een breuk is, kunnen we de regel geven:


Regel: om een breuk te delen door een andere breuk, moet je de eerste breuk vermenigvuldigen met het omgekeerde van de tweede breuk

\(\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{{\frac{a}{b}}}{{\frac{c}{d}}} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{{a \times d}}{{b \times c}}\)

De breuk waardoor je wil delen moet je dus eerst omkeren, dan gebruik je gewoon de regel voor het vermenigvuldigen.


Voorbeelden

\(\frac{2}{3} \div \frac{4}{7} = \frac{2}{3} \times \frac{7}{4} = \frac{{2 \times 7}}{{3 \times 4}} = \frac{{14}}{{12}}\)
\(\frac{6}{7} \div \frac{{11}}{3} = \frac{6}{7} \times \frac{3}{{11}} = \frac{{6 \times 3}}{{7 \times 11}} = \frac{{18}}{{77}}\)
\(\frac{{ - 3}}{2} \div \frac{{ - 8}}{3} = \frac{{ - 3}}{2} \times \frac{{ - 3}}{8} = \frac{{\left( { - 3} \right) \times \left( { - 3} \right)}}{{2 \times 8}} = \frac{9}{{16}}\)

Let op! Zoals we eerder gezien hebben, maar de plaats van het minteken niet uit: voor de breuk, in de teller of in de noemer.


Deling met breuken en gehele getallen

We hebben nu wel gezien hoe je twee breuken deelt, maar wat als je een breuk wil delen door een geheel getal?


Herinner je nog dat je elk getal kan schrijven als een breuk, zo kunnen we de vorige regel weer toepassen!


Voorbeeld

\(\frac{2}{3} \div 4 = \frac{2}{3} \div \frac{4}{1} = \frac{2}{3} \times \frac{1}{4} = \frac{{2 \times 1}}{{3 \times 4}} = \frac{2}{{12}}\)

Op dezelfde manier kunnen we ook een geheel getal delen door een breuk:


Voorbeeld

\(5 \div \frac{4}{7} = \frac{5}{1} \div \frac{4}{7} = \frac{5}{1} \times \frac{7}{4} = \frac{{5 \times 7}}{{1 \times 4}} = \frac{{35}}{4}\)

Zoals je ziet is delen eigenlijk (bijna) hetzelfde als vermenigvuldigen, je moet alleen denken aan het omkeren.


6: Vereenvoudigen


In het stukje over gelijke breuken hebben we gezien dat de volgende breuken hetzelfde zijn:

\(\frac{{12}}{{24}} = \frac{3}{6} = \frac{{50}}{{100}} = \frac{1}{2}\)

De teller is namelijk steeds precies de helft van de noemer.

De eenvoudigste breuk hiervoor is 1/2, deze krijgt dan ook vaak de voorkeur in berekeningen.

Voor breuken waar de teller en noemer bestaan uit gehele getallen, kunnen we dit zo omschrijven:


Een breuk vereenvoudigen is deze vervangen door een gelijke breuk, met kleinere getallen in teller en noemer.


Om een breuk te vereenvoudigen ga je eerst teller en noemer schrijven als een product van kleinere getallen.

We kunnen dan de regel voor het vermenigvuldigen toepassen, in de andere richting.


Voorbeeld

\(\frac{6}{{14}} = \frac{{2 \times 3}}{{2 \times 7}} = \frac{2}{2} \times \frac{3}{7} = 1 \times \frac{3}{7} = \frac{3}{7}\)

We gebruiken de regel om de breuk 2/2 apart te zetten, maar 2/2 is gelijk aan 1 en vermenigvuldigen met 1 verandert de andere breuk niet.

Gewoonlijk zullen we deze tussenstap niet meer doen, maar de 2 die in teller en noemer voorkomt direct schrappen:

\(\frac{6}{{14}} = \frac{{2 \times 3}}{{2 \times 7}} = \frac{{\not 2 \times 3}}{{\not 2 \times 7}} = \frac{3}{7}\)

We kunnen deze techniek om breuken te vereenvoudigen samenvatten in een regel:


Regel: als teller en noemer geschreven zijn als een product van getallen, dan mogen gelijke getallen geschrapt worden.


Voorbeelden

\(\frac{8}{{56}} = \frac{1 \times 8}{{7 \times 8}} = \frac{{1 \times \not 8}}{{7 \times \not 8}} = \frac{1}{7}\)
\(\frac{{42}}{{70}} = \frac{{2 \times 3 \times 7}}{{2 \times 5 \times 7}} = \frac{{\not 2 \times 3 \times \not 7}}{{\not 2 \times 5 \times \not 7}} = \frac{3}{5}\)
\(\frac{{ - 126}}{{18}} = - \frac{{2 \times 7 \times 9}}{{2 \times 9}} = - \frac{{\not 2 \times 7 \times \not 9}}{{\not 2 \times \not 9}} = - 7\)
\(\frac{{5500}}{{2000}} = \frac{{55 \times 100}}{{20 \times 100}} = \frac{{55}}{{20}}\)

Opmerking: in dit laatste voorbeeld zie je dat we breuken waarin teller en noemer eindigen op een aantal nullen, gemakkelijk kunnen vereenvoudigen.

In plaats van te schrijven als een product met 10, 100, 1000 of nog groter, kan je een gelijk aantal nullen in teller en noemer direct schrappen.


Voorbeeld

\(\frac{{73000}}{{9800}} = \frac{{730 \! \! \not{0} \! \! \not{0}}}{{98 \! \! \not{0} \! \! \not{0}}} = \frac{{730}}{{98}}\)

7: Samenvatting rekenregels


Ter herhaling zetten we hier de rekenregels nog eens op een rijtje, elk met een voorbeeld.


Regel: om twee breuken met gelijke noemers op te tellen, moet je de tellers optellen en de noemer behouden.

\(\frac{2}{4} + \frac{1}{4} = \frac{{2 + 1}}{4} = \frac{3}{4}\)

Regel: een breuk blijft gelijk als je teller en noemer met hetzelfde getal (maar niet 0) vermenigvuldigt.

\(\frac{3}{4} = \frac{{3 \times 2}}{{4 \times 2}} = \frac{6}{8}\)

Regel: om een breuk te vermenigvuldigen met een geheel getal, moet je de teller met dat getal vermenigvuldigen

\(4 \times \frac{2}{7} = \frac{{4 \times 2}}{7} = \frac{8}{7}\)

Regel: om twee breuken te vermenigvuldigen, moet je de tellers vermenigvuldigen en de noemers vermenigvuldigen

\(\frac{{ - 2}}{5} \times \frac{4}{3} = \frac{{ - 2 \times 4}}{{5 \times 3}} = \frac{{ - 8}}{{15}} = - \frac{8}{{15}}\)

Regel: om een breuk te delen door een andere breuk, moet je de eerste breuk vermenigvuldigen met het omgekeerde van de tweede breuk

\(\frac{6}{7} \div \frac{{11}}{3} = \frac{6}{7} \times \frac{3}{{11}} = \frac{{6 \times 3}}{{7 \times 11}} = \frac{{18}}{{77}}\)

Regel: als teller en noemer geschreven zijn als een product van getallen, dan mogen gelijke getallen geschrapt worden.

\(\frac{{42}}{{70}} = \frac{{2 \times 3 \times 7}}{{2 \times 5 \times 7}} = \frac{{\not 2 \times 3 \times \not 7}}{{\not 2 \times 5 \times \not 7}} = \frac{3}{5}\)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gesloten