Pagina 1 van 1
6+66+...+66666666666666=?
Geplaatst: wo 14 mar 2007, 20:00
door mo
Bepaal de som in functie van
\(n\)
:
\(6+66+...+666...666\)
(De laatste term bestaat uit
\(n\)
zessen.)
Re: 6+66+...+66666666666666=?
Geplaatst: wo 14 mar 2007, 20:17
door TD
Algemene term:
\(u\left( n \right) = 6\frac{{10^n - 1}}{9}\)
Dan de partiële som:
\(\sum\limits_{i = 1}^n {6\frac{{10^i - 1}}{9}} = \frac{6}{9}\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {10^i - 1} \right)} = \frac{6}{9}\left( {\frac{{10^{n + 1} }}{9} - \frac{{10}}{9} - n} \right) = \frac{2}{{27}}\left( {10^{n + 1} - 10 - 9n} \right)\)
Re: 6+66+...+66666666666666=?
Geplaatst: wo 14 mar 2007, 20:29
door PeterPan
\(6+66+...+666...666 = \frac{6}{9}(9+99+...+999...999) = \frac{2}{3}(10+100+...+1000...000 -n) =\)
\( \frac{2}{3}(\frac{10^{n+1}-1}{9}\cdot 10 -n)\)
Re: 6+66+...+66666666666666=?
Geplaatst: wo 14 mar 2007, 20:37
door TD
\( \frac{2}{3}(\frac{10^{n+1}-1}{9}\cdot 10 -n)\)
Door die extra vermenigvuldiging met 10 hoeft de exponent maar n te zijn ipv n+1, dan komen onze antwoorden overeen
Re: 6+66+...+66666666666666=?
Geplaatst: wo 14 mar 2007, 21:05
door PeterPan
Kijk nog maar eens goed, en constateer dat je er naast zit
Re: 6+66+...+66666666666666=?
Geplaatst: wo 14 mar 2007, 21:09
door TD
Kijk nog maar eens goed, en constateer dat je er naast zit
Misschien zie ik spoken, maar als ik in jouw formule n = 1 invul, krijg ik 218/3.
Als je van die macht n+1 een macht n maakt, en n = 1 invult, krijg je netjes 6.
Re: 6+66+...+66666666666666=?
Geplaatst: wo 14 mar 2007, 21:11
door mo
Ik heb net hetzelfde als TD, dus Peterpan ...
Re: 6+66+...+66666666666666=?
Geplaatst: wo 14 mar 2007, 22:25
door PeterPan
\( \frac{2}{3}(\frac{10^n-1}{9}\cdot 10 -n)\)
Re: 6+66+...+66666666666666=?
Geplaatst: wo 14 mar 2007, 22:29
door TD
PeterPan schreef:\( \frac{2}{3}(\frac{10^n-1}{9}\cdot 10 -n)\)
Re: 6+66+...+66666666666666=?
Geplaatst: do 15 mar 2007, 09:22
door PeterPan
Dan maar een nieuw bewijsje. Noem het getal X en de k-de term 6[k].
Haal van elk getal er 6 af en deel door 10:
\(\frac{X-6n}{10} = X - 6[n]\)
Dus
\(X = \frac{6[n]\cdot 10 - 6n}{9}\)
Re: 6+66+...+66666666666666=?
Geplaatst: do 15 mar 2007, 17:34
door mo
Als we met bewijsjes gaan gooien
Noem de som
\(S_n\)
, het is makkelijk te vinden dat
\(S_n=10S_{n-1}+6n=10(S_n-666...666)+6n\)
.
Nu hebt ge drek
\(S_n\)
.