Rayleigh coefficient

Moderators: dirkwb, Xilvo

Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
Reageer

Bericht 05-03-'09, 19:24

dirkwb

Berichten: 4.246

Rayleigh coefficient

Zij A een symmetrische nxn-matrix. De complete set eigenvectoren heeft notatie
\((\lambda_k, \xi_k)\)
met ordening
\( \lambda_1<...<\lambda_n \)
.

We definiëren de Rayleigh quotient:
\( R(x) = \frac{(Ax)^T x}{x^T x} \)


Laat zien dat onderstaande minimalisatie een tweede eigenwaarde en zijn eigenvector oplevert:
\( min \left( R(X)| x \neq 0, x \bullet \xi_1 = 0 \right) \)
met
\( \xi_1 \)
de orthonormale eigenvector behorende bij
\( \lambda_1\)
Hoe pak ik dit aan?
Quitters never win and winners never quit.
Omhoog

Bericht 05-03-'09, 20:58

PeterPan

Re: Rayleigh coefficient

Hint:

Merk op dat R(cx) = R(x) voor elke scalar c.

Dus hoef je slecht te kijken naar R(x) = x'Ax met ||x||=1.

Lagrange multipliers.
Omhoog

Bericht 05-03-'09, 21:00

dirkwb

Berichten: 4.246

Re: Rayleigh coefficient

Ok, en hoe houd ik rekening met dat inproduct is nul? Is dat een extra constraint in de lagrange multipliers?
Quitters never win and winners never quit.
Omhoog

Bericht 05-03-'09, 21:29

PeterPan

Re: Rayleigh coefficient

yes :D
Omhoog

Bericht 05-03-'09, 21:39

dirkwb

Berichten: 4.246

Re: Rayleigh coefficient

Dat is erg ver gezocht,... maar desalniettemin zal ik een poging doen:
\( f_x =\lambda g_x + \mu h_x \)
\(f(x) = R(x) = \frac{(Ax)^T x}{x^T x} \)
\( g(x)= x^T x=1\)
\( h(x) = x^T \xi =0\)
Hoe differentieer ik R(x) naar x eigenlijk?
Quitters never win and winners never quit.
Omhoog

Bericht 05-03-'09, 22:02

PeterPan

Re: Rayleigh coefficient

R(x) = x'Ax.
Omhoog

Bericht 06-03-'09, 10:32

PeterPan

Re: Rayleigh coefficient

Uit
\( f_x =\lambda g_x + \mu h_x \)
volgt in matrixvorm:
\(Ax = \lambda x + \frac12 \mu \xi\)
en
\(x^Tx = 1\)
en
\(x^T\xi=0\)
Met
\(x^T\)
vermenigvuldigen geeft:
\(x^TAx = \lambda\)
met
\(x^Tx = 1\)
en
\(x^T\xi=0\)
ofwel we hebben een nieuwe eigenwaarde-eigenvector combinatie.
Omhoog

Bericht 06-03-'09, 11:01

PeterPan

Re: Rayleigh coefficient

ofwel
\((\lambda, (\lambda-\lambda_1)x + \frac12\mu\xi_1)\)
is een nieuwe eigenwaarde-eigenvector combinatie.
Omhoog

Bericht 06-03-'09, 11:13

dirkwb

Berichten: 4.246

Re: Rayleigh coefficient

PeterPan schreef:Uit
\( f_x =\lambda g_x + \mu h_x \)
volgt in matrixvorm:
\(Ax = \lambda x + \frac12 \mu \xi\)
en
\(x^Tx = 1\)
en
\(x^T\xi=0\)
Met
\(x^T\)
vermenigvuldigen geeft:
\(x^TAx = \lambda\)
met
\(x^Tx = 1\)
en
\(x^T\xi=0\)
Duidelijk.
ofwel we hebben een nieuwe eigenwaarde-eigenvector combinatie.

ofwel
\((\lambda, (\lambda-\lambda_1)x + \frac12\mu\xi_1)\)
is een nieuwe eigenwaarde-eigenvector combinatie.
Dit snap ik niet (bovendien is de vraag ook niet hiermee beantwoord).
Quitters never win and winners never quit.
Omhoog

Bericht 06-03-'09, 11:44

PeterPan

Re: Rayleigh coefficient

De vraag was:

Laat zien dat onderstaande minimalisatie een tweede eigenwaarde en zijn eigenvector oplevert

Dat is dus aangetoond.

De minimalisatie levert
\(A ((\lambda-\lambda_1)x + \frac12\mu\xi_1) = \lambda(\lambda-\lambda_1)x + (\lambda-\lambda_1)\frac12\mu\xi_1 + \lambda_1\frac12\mu\xi_1 = \lambda((\lambda-\lambda_1)x + \frac12\mu\xi_1)\)
Dus de minimalisatie levert de eigenwaarde
\(\lambda \ne \lambda_1\)
. De bijbehorende eigenvector is
\((\lambda-\lambda_1)x + \frac12\mu\xi_1\)
.

Hmmm. Eigenvectoren van symmetrische matrices zijn orthogonaal, dus
\(\mu=0\)
en
\(x\)
is de nieuw eigenvector.
Omhoog

Bericht 06-03-'09, 12:20

PeterPan

Re: Rayleigh coefficient

Het kan natuurlijk ook saaier met alleen wat algebra.

Als
\(x\)
een willekeurige vector is met lengte 1, en zeg
\(x = \sum_{i=1}^n a_i\xi_i\)
,

dan is
\(Ax = \sum_{i=1}^n a_i\lambda_i\xi_i\)
en het Rayleigh quotient is
\(\frac{\sum_{i=1}^n a_i^2\lambda_i}{\sum_{i=1}^n a_i^2} = \lambda_1 + \sum_{i=2}^n a_i^2(\lambda_i-\lambda_1) \ge \lambda_1\)
enz.
Omhoog

Bericht 06-03-'09, 12:40

PeterPan

Re: Rayleigh coefficient

enz. = We zoeken in de ruimte loodrecht op
\(\xi_1\)
, dus
\(a_1=0\)
.

Dan is de uitdrukking minimaal als
\(a_2=1\)
en
\(a_i=0\)
anders.

Dus het minimum wordt bereikt voor
\((\lambda_2,\xi_2)\)
Ok?
Omhoog

Bericht 07-03-'09, 12:21

dirkwb

Berichten: 4.246

Re: Rayleigh coefficient

PeterPan schreef:enz. = We zoeken in de ruimte loodrecht op
\(\xi_1\)
, dus
\(a_1=0\)
.

Dan is de uitdrukking minimaal als
\(a_2=1\)
en
\(a_i=0\)
anders.
Hoe bewijs je dat dat het minimum is van
\(\frac{\sum_{i=1}^n a_i^2\lambda_i}{\sum_{i=1}^n a_i^2} \)
, ik heb het met partieel afgeleides geprobeerd maar dat lukte niet.
Quitters never win and winners never quit.
Omhoog

Bericht 07-03-'09, 13:42

PeterPan

Re: Rayleigh coefficient

Je hoeft alleen die
\(x\)
-en te onderzoeken die norm 1 hebben, dus waarvoor
\(\sum_{i=1}^n a_i^2=1\)
.

Je ziet aan de uitdrukking
\(\lambda_1 + \sum_{i=2}^n a_i^2(\lambda_i-\lambda_1)\)
dat het minimum bereikt wordt als
\(a_1=1\)
en
\(a_k=0\)
voor de overige k. (
\((a_i^2)\)
kun je met enige fantasie zien als een kansvector).
Omhoog

Bericht 13-03-'09, 20:02

vgroesen

Berichten: 2

Re: Rayleigh coefficient

Beste Dirk,

Als je een beetje opgelet had tijdens mijn lessen, had je dit ook zelf kunnen oplossen. Het stelt me ook erg teleur dat ik elders op deze site een scan van mijn prachtige boek vond.

Ik wil een ieder vragen deze ongeinspireerde student geen hulp meer te bieden bij deze invulopgaves. Voor hulp kan contact gezocht worden via de e-mail.

Gegroet,
Omhoog
Reageer

Terug naar “Wiskunde”