Ik denk dat ik de oplossing gevonden heb.
We beschouwen de plaat als een schijf, dus een opeenvolging van concentrische ringen, die (dit weten we door die vorige oefening) een kracht levert enkel in de x-richting, en door symmetrie niet in de y of z richting. Deze kracht is gelijk aan:
\(\vec{F}_x = \frac{q_1q_2}{4\pi \epsilon _0} \frac{L}{(r^2 + L^2) ^\frac{3}{2}} \vec{e}_x\)
Eén zo'n ring heeft straal
\(r\)
en dikte
\(\mbox{d}r\)
, en de plaat heeft straal
\(R\)
met
\(R\)
naar oneindig. Dit geeft als gevolg dat de lading op die gehele plaat volgens uniforme ladingsdichtheid
\(\sigma = \frac{Q}{A} = \frac{Q}{\pi R^2}\)
gelijk is aan
\(Q = \sigma A = \sigma \pi R^2\)
en dus de lading op één ring gelijk is aan
\(\mbox{d}Q = \sigma 2 \pi r \mbox{d}r\)
.
Aangezien de krachtvector slechts in een richting is en ik geen zin heb met een kruisproduct te werken, bereken ik de norm van de vector (de grootte van de kracht), aangezien ik weet dat die in de x-richting ligt. Ik gebruik hiervoor bovenstaande formule, waarin
\(R\)
niet meer voorkomt:
\(F_{\mbox{tot}} = \int \mbox{d}F_{x} = \int \limits_0^{\infty} \frac{q\sigma 2\pi r}{4\pi \epsilon _0} \frac{L}{(r^2 + L^2) ^\frac{3}{2}} \mbox{d}r\)
Herschrijven van dit geval geeft me:
\(F_{\mbox{tot}} = \frac{q\sigma 2\pi L}{4\pi \epsilon _0} \int \limits_0^{\infty} \frac{r}{(r^2 + L^2) ^\frac{3}{2}} \mbox{d}r = \frac{q\sigma 2\pi L}{4\pi \epsilon _0} \cdot \left \frac{-1}{\sqrt{r^2 + L^2}} \right\vert _0^{\infty} = \frac{q\sigma 2\pi L}{4\pi \epsilon _0} \cdot \frac{1}{L} = \frac{q\sigma}{2 \epsilon _0}\)
en dat is de juiste oplossing. Daar ben ik zeker van, want ze staat achteraan in mijn boek. Waar ik minder zeker van ben, is of ik erdoor zal zijn in juni...
Denis