Oppervlakte van een cirkel

299792.458

Ik was eens rustig aan het nadenken in de bus en plotseling kwam er een vraag in me op. De oppervlakte van een balk wordt simpelweg gegeven door basis*hoogte dit omdat men eigenlijk de hoogte een basiskeer opteld (sorry voor de ietwat bizarre formulering). Hoe komt het dat dit niet het geval is bij een cirkel. Als men de straal een cirkelomtrekkeer opteldt dan bekomt men 2pi.gifr². Iedereen weet echter dat deze 2 hier niet hoort ,maar hoe komt dit want ik was maar over en over aan het denken en ik kon de fout in de beredenering niet vinden. Bekijk 1ste plaatje.

: cirkel_experiment.jpg (12.09 KiB) 403 keer bekeken

Ik besloot het vraagstuk te herformuleren. Hoe komt het dat de oppervlakte van een cirkel niet gelijk is aan de oppervlakte van een balk waar de hoogte de straal van deze cirkel voorsteldt is en de basis de omtrek ?

Ik besloot dit probleem op te lossen op deze manier. Stel dat je de straal spiegelt tov elk punt op de omtrek van de cirkel dan zou je intuitief bekomen dat de oppervlakte van de donut die hieromtrent onstaat gelijk is aan deze van de cirkel ninnen in maar dit is niet zo. Want de omtrek van de buitenste cirkel is het dubbele van die van de binnenste dus als ik de logica van het wentellen van de straal zou toepassen dan zou ik iets raars bekomen. Ik hoef dan maar de helft van buitenste cirkel te wentellen om de oppervlakte van de binnenste te verkrijgen. Bijgevolg wil dit zeggen dat dit rondwentellen niet mag.

: Donut.jpg (11.38 KiB) 374 keer bekeken

Alvast bedankt om te antwoorden

Sorry voor de onhandig grote afbeeldingen maar wens te vermelden dat ik wikipedia al eens heb gecheckt en zo de methode van pythagoras heb gezien. Ik wens echter te weten of heel deze beredenering klopt en of er geen simpele logischere verklaring is voor het verbod op rondwentelling.

yoralin

Heel ruw antwoord :

de oppervlakte tussen de cirkels met straal r en r+

\(\Delta\)

r is inderdaad ongeveer 2.pi.r.

\(\Delta r\)

.

Als je de oppervlakte berekent door de oppervlakte van die 'ringen' op te tellen, valt die 2 weg; net zoals 1 + 2 + ... + n ongeveer n²/2 is.

(Zie je later nog wel bij differentiaal- en integraalrekening : pi.r² afleiden is 2.pi.r).

299792.458

Wat ik me afvroeg is hoe je je beter kunt voorstellen dat je bij het omwentelen van de straal binnenin de cirkel je al mag stoppen na de helft ? En is er ook een rede waarom de balk-cirkel analogie niet klopt.

EvilBro

Hoe komt het dat dit niet het geval is bij een cirkel.

Het is mij totaal onduidelijk hoe je denkt de parallel te trekken tussen een cirkel en een balk...

Misschien helpt het volgende: de omtrek van een cirkel met straal r is gelijk aan \(2 \pi r\). Stel dat de cirkel een straal R heeft en dat je nu twee cirkels binnen deze cirkel bekijkt, een die zich x van de oorsprong bevindt en een die zich x van de buitenrand bevindt. De twee bijbehorende stralen zijn dan \(2 \pi x\) en \(2 \pi (R - x)\). De lengte van deze twee cirkels bij elkaar is \(2 \pi x + 2 \pi (R - x) = 2 \pi R\). Kijk nu naar de cirkels voor verschillende waarden van x. Merk op dat als je x laat varieren tussen 0 en \(\frac{R}{2}\), je alle mogelijke cirkels hebt getekend (bij elke cirkel in dit gebied hoort immers ook een cirkel in het buitenste gedeelte). Nu is het hopelijk niet zo moeilijk om gevoelsmatig te beseffen dat dan \(\frac{R}{2} \cdot 2 \pi R = \pi R^2\) het oppervlak is.

299792.458

Bedankt voor deze verhelderende uitleg

299792.458

Ps: Ter verduidelijking hoe ik aan de cirkel-balk analogie kwam. Een cirkel is gewoon de figuur die onstaat wanneer men de uiteinde van een lijnstuk met elkaar verbind niwaar ? Wel als men dit lijnstuk terug origineel bekomt dan is deze van de grote 2pir. De denkwijze ging ervan uit dat ik de straal kon wentellen over heel de omtrek en dat men zo als het ware in elk punt van deze cirkel de straal opteldt. Nu dit zou dan ook willen zeggen dat ons lijnstuk in elk punt een rechte naar boven heeft wijzen met de grote van de straal. Voor je gaat zeggen dat dit niet waar moet ik vermelden dat heel deze denkwijze lijdt tot de donutanalogie waarvoor is aangetoont dat deze omwenteling geen weergave is van de oppervlakte.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Oppervlakte van een cirkel

Oppervlakte van een cirkel

Re: Oppervlakte van een cirkel

Re: Oppervlakte van een cirkel

Re: Oppervlakte van een cirkel

Re: Oppervlakte van een cirkel

Re: Oppervlakte van een cirkel